Un peu de Géométrie ?

[Ben314]

Salut,

Soient O,A,B,C quatre points du plan et A',B',C' les images de A,B,C par la symétrie centrale de centre O.
On suppose que les 6 points A,B,C,A',B',C' sont distincts.

Montrer que les 4 cercles (A'BC) , (AB'C) , (ABC') et (A'B'C') sont concourant
(le terme "cercles" étant bien entendu à remplacer par "droite" lorsque les trois points sont alignés)

J'ai plusieurs preuves, mais aucune de "bien satisfaisantes" (tout est assez bourrin)
(et je sais que le point d'intersection des 4 cercle a d'autres propriétés...)

[Benoist]

Salutation,

A moins que je ne me trompe, le fait que les cercles soit confondus fait-il qu'ils ne sont pas concourants?
Car dans ce cas si tu place les points ABC sur un cercle de centre O, tu as tes quatre cercles confondus, donc non-concourants.
En retournant ça comme une crêpe, si les 3 points de départ ne sont par sur un cercle de centre O, alors les cercles sont concourants?
Je dit peut être (certainement) une grosse bêtise mais je tente quand même!

[Ben314]

Non, c'est pas particulièrement "une grosse bêtise" : c'est juste un cas particulier du problème de départ qu'on peut éliminer
- Soit en rajoutant l'hypothèse que O n'est pas le centre du cercle circonscrit à (ABC) (s'ils ne sont pas alignés)
- Soit en considérant (ce que j'aurais tendance à faire) que "concourant", ça signifie "avoir au moins un point commun" et donc que des cercles confondus sont effectivement "concourant".

Il y a peut-être d'autres cas "pathologiques" à éliminer donc, si besoin est, on rajoute à l'énoncé que les points sont "en position génériques", c'est à dire que les cas particulier m'intéressent peu en fait et que c'est ce style de disposition qui m'intéresse :

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Sinon, ben j'ai toujours pas de soluce "esthétique"...

[Pseuda]

Bonsoir,

A la vite, la démonstration en utilisant les complexes doit marcher, mais c'est peut-être ça que tu appelles bourrin.

Sinon pour une démonstration géométrique, j'essaierais d'identifier le point de concours des cercles (mais tu as dû faire), et de prouver à l'aide de la condition de cocyclicité de 4 points (avec les angles), et en utilisant les angles, et bien sûr la symétrie, que ce point appartient aux cercles que tu as cités.

Sans garantie (je n'ai pas le temps de faire).

[Ben314]

J'ai essayé avec les complexes, mais, sauf astuce calculatoire qui m'a échappé c'est très très très pourri (plus que difficilement faisable à la main. . .)
J'ai une soluce calculatoire à peu prés jouable à la main, mais pas jolie...

[aviateur]

Bonjour,
J'utilise ce résultat : 4 points (assimilés à des complexes) sont cocycliques ou alignés ssi leur birapport
est réel, où le birapport [z1,z2,z3,z4] est donné par :

Mais je remarque que c'est encore équivalent à .
Une fois que j'ai dit cela, je désigne par a,b,... les affixes de A,B,.... a1=-a,b1=-b,.... celles de A',B',... (où j'ai supposé que O=0.)
Soit un point D=(=d) sur sur le cercle A',B',C' alors en utlisant (1) et (2)
et
Le cercle ABC' ayant un point avec A',B',C' recoupe ce même cercle en un point D donc
(ici j'ai utilisé uniquement (2).)

Mais et est dc réel.

Ce qui veut dire que le cercle A,B',C passe aussi par D. On finit l'exercice par permutation

[Ben314]

Oui, effectivement, je sais pas ce que j'ai foutu avec mes calculs : c'est juste un produit de deux birapports (ton produit h1*h3 ne sert à rien : c'est le produit de deux birapports concernant le même quadruplet donc au signe prés c'est aussi un birapport).

Bref, tout se résume simplement à

Merci.

Sinon, l'autre voie sur lequel j'étais parti, mais j'aboutis pas sans un minimum de calculs plutôt pas terrible, c'est qu'en fait, les 7 points A , B , C , D , A' , B' , C' et D sont sur une même conique K centrée en O et cette conique est l'unique conique de centre O passant par A , B et C (ou A' , B' , C' ce qui revient évidement au même)
Donc le point D, c'est en fait le 4em point d'intersection de cette conique et du cercle circonscrit à (A'B'C') et les calculs que j'ai fait montrent une propriété bizarre des 4 points A' , B' , C' et D : leur image par n'importe quelle affinité ayant pour "axes" les axes de symétrie de la conique sont systématiquement 4 points cocycliques.

Je vais en profiter pour poser le truc dans une autre "énigme"...