yo,
de mon côté,
j'essaie de bidouiller avec les nombres pairs.. mais je pense que ya plus smart parce que je fais pas emploi de la subtilité de retrancher l'inverse des nombres pairs justement...
Si on pose S = P + I
ou S = p(p-1)/2 , P la somme des inverses des nombres pairs, et i pour les impairs,
on a T (que cherche ben) qui vaut T = I - P = S - 2P
Or on remarque que
car p est premier (voir totent function) et ou ptit theo fermat jcrois.
et en particulier.. 2^{p-2} * 2.. = 1
donc
Si on prend 7 par ex, on sait que S%p = 0 et donc il faut calculer
inv(1)+inv(2)+inv(3) = 10 (et -10%7 == 4%7)
Ensuite, si on note
où q = p-2 , en fait ca ressemble tres fortement à falhabert formula, sauf que ici faudrait plus utiliser les modulo pour simplifier (mais c là ou je pense c'est moyen parce qu'on perd la "piste" que faut retrancher des nombres) dc jpense pas que partir avec bernouilli soit la bonne solution (toute façon ca fait peur)
Bref de même raisonnement, on a S(n) = I(n) + cP(n) = I(n) + cS((n-1)/2)
où P(n) désigne la somme de tous les inverses des pairs jusqu'à n , et I les impairs...
et c = 2^{p-2} = (p-1)/2 d'après la remarque de zygo sur l'involution
avec S(1) = 1 (et le tout modulo p bien sur)
Le but étant d'arriver à trouver le terme de S( (p-1)/2 )
Du coup, on a un espèce de truc téléscopique, mais faudrait arriver à faire un changement de variable pour avoir une suite récurrente un peu plus confortable. Je pense que c'est possible mais je sais pas si mes vagues souvenirs me font illusion....
m'enfin vu que (n-1)/2 c'est pas forcément impair... ca devient compliqué pour mon neurone