Un peu d'arithmétique

[nodjim]

Oui, l'idée est, à partir du seul ensemble A, obtenir des écarts tous différents entre ces éléments. On prend les entiers compatibles dans l'ordre croissant.
Les 1 ers éléments sont: 0,1,3,7,12,20,30,44,65,90,116...
Saura t on jamais la construire autrement que les uns après les autres ?
Quelle est sa croissance ? au moins supérieure à la suite des carrés, mais pas beaucoup plus.

[bfure]

Notons A et B les deux sous ensembles de N solutions du problème

notons a0,a1...an.... les éléments de A
et b0,b1....bn....les éléments de B

tels que

f(a0,b0) =0

et
pour n élément de N*
notons i=2n-1 et p=2n

f(ai,bi)=n
f(ap,bp)=-n

Nous ordonnons les ensembles A et B de tel façon à parcourir Z de la manière suivante
0, 1, 1, 2, -2 etc...

--------------------------------------------------------
1- f(a0,b0) = 0 <=> a0-b0=0 <=> a0=b0

posons a=c alors c appartient à A et à B

Ensemble A : c
Ensemble B : c
posons arbitrairement c=0 (le pb pourrait se généraliser avec c<>0)

2-pour tout k appartenant à N* et selon l'ordre adopté nous cherchons ai, bi, ap, bp tel que

ai-bi =k
ap-bp =-k
=>(ai+ap)=(bi+bp)
notons Sn la somme obtenue



---------------------------------------------------
pour obtenir k et -k

il existe un (n,m) élément de N2 tel que ai=n+k, bi=n, ap=m et bp=m+k

on obtient bien

Ensemble A : 0 n+k m
Ensemble B : 0 n m+k

notons tous résultats des différentes combinaisons entre A et B
1. c-c =0
2. c-n =-n
3. c-m-k =-m-k
4. n+k-c =n+k
5. n+k-n =k
6. n+k-m-k =n-m
7. m-c =m
8. m-n =m-n
9. m-m-k =-k


à ce stade pour que f(a,b) soit bijective il faut que
les relations.
1. à 9. aient des solutions différentes.
par construction = k>0, n>k, m>n

-----------------------------------------------------------
n<>0 par construction
m<>-k par construction
n<>-k par construction
k<>0 par construction
n<>m par construction
m<>0 par construction
m<>n par construction
k<>0 par construction

-n<>m-k <=> m+n<>k par construction
-n<>n+k <=> n<>-k/2 par construction
-n<>k par construction
-n<>n-m <=> 2n<>m
-n<>m par construction
-n<>m-n par construction
-n<>-k par construction

-m-k<>n+k <=> -m-n<>2k par construction
-m-k<>k par construction
-m-k<>n-m par construction
-m-k<>m par construction
-m-k<>m-n <=> 2m-n<>-k par construction
-m-k<>-k par construction

n+k<>k par construction
n+k<>n-m par construction
n+k<>m <=> n-m<>k par construction
n+k<>m-n <=> 2n-m<>-k
n+k<>-k par construction

k<>n-m par construction
k<>m par construction
k<>m-n
k<>-k par construction

n-m<>m <=> 2m<>n par construction
n-m<>m-n par construction
n-m<>-k <=> m-n<>k

m<>m-n par construction
m<>-k par construction

et enfin
m-n<>-k par construction
-------------------------------------------------------
retenons donc :

k>0 n>k m>n 2n<>m 2n-m<>-k m-n<>k

pour k =1

Exemple on ne peut pas prendre n=2 et m=3 car m-n=1=k

il existe une infinité de solution
exemple :
pour tout k>0
n=2k
m=6k vérifie les conditions ci-dessus

Ensemble A : 0 n+k m
Ensemble B : 0 n m+k

pour k=1 :

Ensemble A : 0 3 6
Ensemble B : 0 2 7

--------------------------------------------------------
Maintenant une fois que l'on à trouvé une solution pour k
il faut trouver une solution pour k+1 en vérifiant que les nouvelles combinaisons entre chaque élément
respectent toujours la bijection de la fonction.
Bien sur on pourrait faire toutes les combinaisons et analyser une par une les conditions
on va ruser un peu en employant le raccourci suivant
Pour chaque k nouveau on va changer d'ordre

par exemple :
n =2*k*10^(2k)
m =6*k*10^(2k+1)

pour k=1 on a
n=200 et m=6000

pour k=2 on a
n=40000 et m=120000

Ensemble A : 0 201 6000 40002 120000
Ensemble B : 0 200 6001 40000 120002

on vérifiera aisément qu'en changeant d'ordre on respecte la bijection
CQFD

[bfure]

Je crois qu'il veut prendre A = B, et avoir une infinité de moyens d'écrire 0 = a-b.

Alors f ne serait pas bijective