Petite inégalité

[Olympus]

EDIT 27/03/2010 : sommes symétriques utilisées à tort ici, je faisais en effet des sommes sur toutes les permutations sauf celles qui donnent le même résultat .

Hello à tous !

Toujours entrain de m'entrainer sur la méthode de Doraki, je me suis essayé à cette inégalité : ( et )



C'est assez facile à résoudre avec C.S + Power Mean puisque :

Selon C.S :

Selon P.M :

Donc .

Plus qu'à montrer que , ce qui est trivial selon P.M .

Puis on somme et on a terminé .

Maintenant pour la méthode de Doraki :

- En homogénéisant cela donne :



On pose .

En développant :

.

Mais il y a un petit soucis, quasi impossible de déterminer quand est-ce que le polynôme s'annule oO ( à part (0,0,0,0) ), même Wolfram ne me donne pas d'"Integer Roots" .

EDIT : corrigé, voir les posts plus bas .

Que faire dans ce cas ?

Merci !

[Doraki]

t'as oublié de multiplier (a²+b²+c²+d²) par 8.

Ah et aussi, il faut tout multiplier par (a+b+c+d) à la fin pour avoir un polynôme de degré pair.
Comme ça t'as une équivalence et tu peux oublier le "a+b+c+d = 1"

[Olympus]

t'as oublié de multiplier (a²+b²+c²+d²) par 8

Oups quelle honte, je ressaie :marteau:

Merci !

PS : des heures perdues à cause d'une simple erreur de calcul ...

[Olympus]

Ah et aussi, il faut tout multiplier par (a+b+c+d) à la fin pour avoir un polynôme de degré pair.
Comme ça t'as une équivalence et tu peux oublier le "a+b+c+d = 1"

Oki merci !

[Olympus]

Donc je corrige ( pourquoi d'ailleurs un degré pair ? ) :



En développant cela donne :

.

J'ai trouvé le polynôme suivant :



Dois-je l'utiliser pour faire disparaître les -a²b² ?

[Doraki]

Il faut un degré pair parceque si P est de degré impair,
P(-a,-b,-c,-d) = - P(a,b,c,d), donc il y a assez peu d'espoir pour montrer que P >= 0.

Et sinon, moi j'ai -22*(a²b²+a²c²+a²d²+b²c²+b²d²+c²d²) et pas -11*...

Je vois pas pourquoi est-ce que Q serait positif ?

[Olympus]

Il faut un degré pair parceque si P est de degré impair,
P(-a,-b,-c,-d) = - P(a,b,c,d), donc il y a assez peu d'espoir pour montrer que P >= 0.

Et sinon, moi j'ai -22*(a²b²+a²c²+a²d²+b²c²+b²d²+c²d²) et pas -11*...

Je vois pas pourquoi est-ce que Q serait positif ?

Effectivement, encore une petite erreur de ma part ( ben en même temps j'ai développé à la main comme Wolfram n'arrive pas à la lire ... ) :marteau: .

Sinon pour le Q, ben c'est évident car a, b, c et d sont tous les quatre positifs, donc les (a+b+c+d), (a+b) ( + ses symétries ), ainsi que (a-b)² ( + ses symétries ) sont tous positifs, donc Q est positif .

[Doraki]

Ah j'avais pas vu qu'on avait supposé a,b,c,d positifs.

Donc c'était pas nécessaire de multiplier par (a+b+c+d) et tu peux rester sur des polynômes de degré 3.

[poiuytreza]

De toute façon une fois que tu as tout développé c'est Muirhead direct donc ça sert à rien de se fatiguer à chercher des carrés.

[Olympus]

Oki, donc :



En développant :



Le polynôme que j'ai trouvé pour l'instant et qui s'annule bien en a=b=c=d est :

.

On multiplie par 11 pour chasser les -a²b et on fait la différence :

.

J'ai comme l'impression que le deuxième terme me fait penser à l'inégalité du réordonnement ... Sinon, que faire par la suite ?

EDIT : ben oui j'avais bien remarqué le Muirhead aussi, mais bon je fais ceci plutôt pour m'entrainer à cette méthode et pas tant pour "prouver" l'inégalité ( ce que j'ai déjà fait avec C.S + Power Mean sans me casser la tête )

[Doraki]

P(a,b,c,d) = (13(a+b)+(c+d))(a-b)² + ses 5 variantes.

[Olympus]

P(a,b,c,d) = (13(a+b)+(c+d))(a-b)² + ses 5 variantes.

Donc au lieu de multiplier Q par 11 comme je l'ai fait, tu l'as multiplié par 13, fait la différence, obtenu +2a²b-6abc ( et leurs symétries ) que t'as brillamment fait disparaître avec les (c+d)(a-b)² .

Dois-je donc noter qu'il fallait choisir le meilleur coefficient de Q ( ici 13 ) pour chasser a³ ET les -a²b et pas seulement les -a²b ?

[Doraki]

Je sais pas, j'ai juste développé les candidats les plus évidents, à savoir
a(a-b)² + ses 11 copains, et
c(a-b)² + ses 11 copains.

Et là on voit immédiatement qu'une combinaison linéaire des deux marche.
Et donc qu'on a de la chance (comme toujours).