Petite inégalité qui me casse la tête ...

[Olympus]

Bonjour,

bon voilà il ne me reste que 3 jours pour me préparer aux olympiades de Kénitra/Maroc, et je voudrais à tout prix ne pas être éliminé au premier tour . Donc j'ai comme un no-life pris quelques inégalités d'olympiades trouvées sur le Net, ça va bien jusqu'ici ( 13 exos d'inégalités réalisés sur 16 ), mais je bloque sur celle-ci depuis hier, quelqu'un pourrait-il me donner un petit coup de pouce ?

Soient , et trois réels strictement positifs, et ( pas besoin vu que de toute façon l'inégalité est symétrique mais osef ) .

Montrer que : .

Bon voilà où j'en suis :

cette inégalité ayant une forte ressemblance avec celle-ci , je vais la prouver et peut-être qu'elle servira ( mais j'ai pas encore réussi à créer une connexion entre les deux inégalités ) .

Facile à prouver par réordonnement, mais faisons comme si on ne l'a pas vu en utilisant uniquement le bagage du lycée :

On sait que .

Donc :








L'idée serait d'exploiter cette inégalité pour arriver à celle qu'il fallait démontrer, puisqu'on voit que chaque nombre est multiplié par , et respectivement, mais je n'y arrive pas

Ou alors, ce n'est pas la bonne piste et je perds du temps là dedans ?

Merci !

[laquestion]

pourquoi l'inegalité est symetrique ?

[Olympus]

pourquoi l'inegalité est symetrique ?

Euh, parce qu'elle n'implique pas un ordre précis des variables et donc qu'on peut supposer nous même, par symétrie des rôles, que ou vu qu'il y aura de toute façon un plus grand et un plus petit élément, ou alors me suis-je trompé ?

[laquestion]

je crois. pourquoi ne pas considerer x^(z/y) plutot que x^(y/z) à ce moment là...

[Olympus]

Euh les fractions ne sont pas en exposants ^^

[Olympus]

Voilà j'ai un peu changé le code Latex pour que ça n'apparaisse pas en exposant ( même si mon code était correct, mais le rendu pas lisible comme je vois ) .

[laquestion]

ok merci bien. heureusement que tu me l'a dit car j'etais entrain de pietiner. je pietine toujours mais avec plus d'espoir. je crois que l'inegalité n'est pas symetrique (la division n'est pas commutative).

[laquestion]

si l'inegalité est vraie, elle est valable pour tout rééls tels que |x| superieur à |y| superieur à |z| car ax, ay et az veriefient aussi l'inegalité.(et par densité des rationnels)

[laquestion]

test tex je vais l enlever

[Olympus]

Je suis toujours intéressé par une solution :-)

Merci !

[laquestion]

Je suis toujours intéressé par une solution

Merci !

je crois que j'ai trouvé.
on peut supposer y=1 comme je l'ai dit avant. on pose x=expa et z=exp(-b) a et b positifs. on mets le membre de gauche à droite et on derive la fonction suivant a et on montre sans difficulté qu'elle est croissante. on a plus qu'a verifier que l'inegalité est verifiée pour x=1 et y=1.
je donnerai plus de detail eventuellement...

[Ben314]

L'inéquation de départ n'est pas symétrique en (x,y,z) :
si on remplace (x,y,z) par (y,z,x) cela ne change rien, mais si on fait
(x,y,z)->(y,x,z) il me semble que ce n'est plus la même.

J'ai l'impression d'avoir une solution mais elle est tellemen "bourrine" que je sais pas si j'ose la doner (en plus je risque de m'être gourré), bon, enfin :
Je fait tout passer à gauche et je note f(x) la fonction (en fait, je regarde x,y,z comme des réels tels que x>=y>=z>0 avec y,z fixés une bonne fois pour toute)
1) Je calcule f''(x) => ... f''(x)>0 pour tout x>0 donc f' est croissante sur [0,+infty[.
2) Je calcule f'(y)=...=(y-z)(2y^2-z^2)/(yz)>=0 comme f' est croissante, j'en déduit que f'(x)>=0 pour tout x>=y et donc que f est croissante sur [y,infty[.
3) Je calcule f(y)=y(y-z)^2/z>=0 donc f(x)>=f(y)>=0.

Je sais, c'est trés laid (j'ai honte) et en plus, ca risque d'être faux...

[mito94]

il est possible que tous soit faux c'est la premiere fois que je confronte a ce genre d'exo et ma résolution semble bien simple ! :doh:



on obtient

De plus

et


de plus car
De meme , car

Donc

De plus il faut que

d'ou que

donc


Donc

On obtient donc

donc pour on obtient

[laquestion]

c'est la que ça coince...
(ma "solution" ne vous convient pas ?)

[Olympus]

Peut-être que j'ai pas bien suivi, mais cela ne devrait pas plutôt être x-y >= 0 ? ( même chose pour y-z )

[Olympus]

Oups ma faute, x,y et z sont trois réels strictement positifs, je corrige l'énoncé ^^"

PS : euh je n'ai aucune notion en dérivées etc... ( pas encore faits ça en cours ), mais si ça permet de résoudre l'exercice, pourquoi pas ! :we:

[Ben314]

laquestion, en ce qui me concerne ta soluce "me convient" : c'est le même style que ce que j'ai fait (mais je trouve pas cela super beau : l'énoncé était "presque" symétrique et la solution quasiment pas)

[mito94]

c'est la que ça coince...
(ma "solution" ne vous convient pas ?)

pourquoi est ce que sa coince ? on a x>y>z donc x/y > y/z >z/x

exact cela marche quelque soit z différent de 1
en précisant cela je pense que ce que j'ai fait est bon

[Doraki]

L'équation n'étant pas totalement symétrique (il est invariant par les 3-cycles mais pas par S3 tout entier), l'hypothèse x>=y>=z est importante, (cependant j'ai pas trouvé de contre-exemple dans le cas x<=y<=z).

Sous cette hypothèse, le polynôme symétrique (y-x)(z-y)(x-z) est positif.

En multipliant l'inégalité par xyz et en regroupant tout, il suffit de trouver que

[Olympus]

L'équation n'étant pas totalement symétrique (il est invariant par les 3-cycles mais pas par S3 tout entier), l'hypothèse x>=y>=z est importante, (cependant j'ai pas trouvé de contre-exemple dans le cas x<=y<=z).

Sous cette hypothèse, le polynôme symétrique (y-x)(z-y)(x-z) est positif.

En multipliant l'inégalité par xyz et en regroupant tout, il suffit de trouver que

:doh: Encore une solution en quelques lignes de ta part avec la même méthode : soustraction + factorisations de oufs :doh: