Petit défis !

[chaa13]

Hey !
Voici un petit défi : Pourquoi le rapport entre deux nombre consécutif de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or ?
Requis : Résoudre une équation du second degré, Connaitre un minimum sur les suite, et les convergence
Donc ca serait plutot niveau première !
Je pose cela car je l'ai fait y'a quelques semaine de cela et je l'ai trouvé super cool et interressant !
A vous !
Cela s'adresse au lycéen !

[Kikoo <3 Bieber]

Haaa t'as finalement saisi la méthode de résolution ? :p

[chaa13]

Oui oui il est fini depuis longtemps celui la j'ai eu le temps d'en finir d'autre d’ailleur ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Ah, j'attends l'autre pour voir ! :D Tu peux le poster ici ou me l'envoyer par msn si tu veux.

[chaa13]

Ouai enfaint je les résoud d'abord et ensuite je les post en tant que defis ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Ouai enfaint je les résoud d'abord et ensuite je les post en temps que defis ^^

Et moi, j'y ai pas le droit ??? Dis, chuis ton pote voyons !

[chaa13]

MDrrr si si ^^ Va y connecte toi sur MSN :P

[Matt_01]

MDrrr si si ^^ Va y connecte toi sur MSN

Ca existe encore !

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, on vient de déterrer cet ancien trésor désormais perdu du World Wide Web :p

[chaa13]

Aucun première veut le faire :cry: ?

[mcar0nd]

Aucun première veut le faire ?

Bon allez je me lance, je suis en première après tout.
Je l'ai fait d'une certaine façon mais je pense qu'il y a d'autres possibilités.

Donc on sait que la suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence . En divisant chaque membre par , on a , ensuite en simplifiant un peu tout ça, on a où est le rapport entre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
En supposant que converge, on appelle sa limite; vérifie alors l'équation . Le dénominateur ne peut pas être nul, ce qui revient à résoudre l'équation du second degré . Le discriminant est égal à donc on a deux solutions distinctes qui sont ou .
Et là on remarque qu'une des solutions est le nombre d'or .

Voilà ma façon de faire, il y a sûrement plus élégant mais bon.

PS: je suis désolé de ne pas avoir caché ma réponse mais je ne sais pas mettre de couleur avec la balise TEX. x)

[Kikoo <3 Bieber]

C'est bon ;)

[mcar0nd]

C'est bon

Cool. :zen:

[Anonyme]

Bonjour,

Bravo à toi Mcar0nd ! Tu as reussi le défi :)

C'est extra-scolaire ou appris en première S ?
Parce que je suis en terminale, et euh... Je n'aurai pas su y répondre... :mur: :triste:

[mcar0nd]

Bonjour,

Bravo à toi Mcar0nd ! Tu as reussi le défi

C'est extra-scolaire ou appris en première S ?
Parce que je suis en terminale, et euh... Je n'aurai pas su y répondre... :mur: :triste:

Salut saccharine, ça faisait longtemps,
Non, c'est pas appris en première à proprement dis mais les notions dont on a besoin sont vues en première.

[Anonyme]

Salut saccharine, ça faisait longtemps,
Non, c'est pas appris en première à proprement dis mais les notions dont on a besoin sont vues en première.

Hmm... D'accord !

[Kikoo <3 Bieber]

Je vais donc commenter la solution !

Alors la démonstration classique que nous donne Mcar0nd, est construite sur deux étapes principales :

1) On prend le nombre , qui représente la suite , et on essaie de trouver une relation simple que satisfait ce nombre.

On part de pour aboutir à comme l'exhibe bien Mcar0nd.
Nous avons notre relation simple, qui est ici une équation du second degré (et ça tombe bien, car si on était tombé sur une relation de récurrence par exemple, ç'aurait pu être plus compliqué).

Etape importante, on suppose que la suite converge. Ici, il faudrait le justifier en disant qu'elle est croissante (récurrence immédiate, par exemple) et on prouvera qu'elle est majorée par 2, par exemple également. C'est déjà plus niveau terminale. Il faut connaitre le théorème de limite monotone.


2) On résout l'équation ! Et là c'est facile, tout va bien.



Bon, la résolution demande de prendre des initiatives, ce à quoi un lycéen n'est pas forcément habitué. Avec de l'expérience cependant, on s'aperçoit que de telles astuces ne sont pas hors de portée !

[Anonyme]

Je vais donc commenter la solution !

Alors la démonstration classique que nous donne Mcar0nd, est construite sur deux étapes principales :

1) On prend le nombre , qui représente la suite , et on essaie de trouver une relation simple que satisfait ce nombre.

On part de pour aboutir à comme l'exhibe bien Mcar0nd.
Nous avons notre relation simple, qui est ici une équation du second degré (et ça tombe bien, car si on était tombé sur une relation de récurrence par exemple, ç'aurait pu être plus compliqué).

Etape importante, on suppose que la suite converge. Ici, il faudrait le justifier en disant qu'elle est croissante (récurrence immédiate, par exemple) et on prouvera qu'elle est majorée par 2, par exemple également. C'est déjà plus niveau terminale. Il faut connaitre le théorème de limite monotone.


2) On résout l'équation ! Et là c'est facile, tout va bien.



Bon, la résolution demande de prendre des initiatives, ce à quoi un lycéen n'est pas forcément habitué. Avec de l'expérience cependant, on s'aperçoit que de telles astuces ne sont pas hors de portée !

Merci pour ces explications !

[mcar0nd]

Merci pour ces explications !

Je suis sûr que tu aurais réussi.

[Anonyme]

Je suis sûr que tu aurais réussi.

Oh non, ne sois pas si sûr. Je ne l'aurais pas reussi, vraiment. Et je ne le reussirais toujours pas :ptdr: