Permutation de {1,1/2,...,1/n}

par **lapras** » 21 Mai 2008, 07:15

Bonjour,
Un exercice pas trop méchant...

Soit {a1,a2,...,a_n} et {b1,b2,...,b_n} des permutations de {1 , 1/2, 1/3, ... 1/n} tels que a1+b1>=a2+b2 >= a3+b3 >= ... >= a_n+b_n. Montrer que a_k+b_k<=4/k pour tout k

par **Redbul.** » 21 Mai 2008, 20:49

une permutation...?

par **lapras** » 21 Mai 2008, 21:20

Oui
par exemple une permutation de {1,2,3} est {2,3,1} ou bien {3,1,2}

par **lapras** » 22 Mai 2008, 18:16

Un indice, il faut utiliser le principe de l'extremum... :we:

par **ThSQ** » 22 Mai 2008, 19:50

lapras a écrit:pas trop méchant...

:ptdr: :ptdr: 'reusement que tu le dis !!

Avec l'indice ça va mieux :id:

( on prend le + petit i tq ai <= bi, si a_n est en majorité plus grand que b_n )

par **Imod** » 22 Mai 2008, 22:06

J'ai vite senti la grosse astuce et dans ce cas méchant ou pas , trouver c'est la loterie :we:

Une remarque pour les notations :

{1;2;3}={2;3;1} égalité ensembliste .
(1;2;3)<>(2;3;1) les triplets sont distincts .

J'ai appris ça en 6ème :ptdr:

Imod

par **lapras** » 23 Mai 2008, 06:27

(1;2;3)(2;3;1) les triplets sont distincts .

Je ne savais pas !
En 6eme ??! :doh:

par **Imod** » 23 Mai 2008, 10:33

lapras a écrit:Je ne savais pas ! En 6eme ??! :doh:

Les fameuses maths modernes !!!
Définition des entiers relatifs en 5ème : c'est l'ensemble des classes d'équivalences de la relation définie sur

:

ssi

!!!

Imod

par **lapras** » 23 Mai 2008, 17:21

Oula !
On voit ca en prépa aujourd'hui...
mais es ce que vous y compreniez quelquechose ?

par **_-Gaara-_** » 23 Mai 2008, 17:27

Imod a écrit:Définition des entiers relatifs en 5ème : c'est l'ensemble des classes d'équivalences de la relation définie sur : ssi !!!

lol Imod !! et il restait quoi à faire en Terminale ?? mdr xD

par **ffpower** » 23 Mai 2008, 17:30

La theorie de Galois,de la mesure et des fonctions holomorphes(a plusieurs variables) XD

par **Imod** » 23 Mai 2008, 23:29

lapras a écrit:Oula ! On voit ca en prépa aujourd'hui ... mais es ce que vous y compreniez quelquechose ?

Je comprenais et j'adorais ( ou le contraire ) mais ce n'était pas le cas de la majorité ( doux euphémisme ) . Pour aimer les maths à l'époque il fallait en vouloir parce que c'était vraiment pur et dur !!!

Imod

par **nodgim** » 24 Mai 2008, 12:10

Si l'on prend la somme brute des 2 suites non permutées, on obtient pour chaque terme la moitié de 4/k.
1+1=2 et 4/k=4
1/2+1/2=1 et 4/k=2
1/3+1/3=2/3 et 4/k=4/3

L'hypothèse est donc vérifiée.

Si on veut espérer atteindre ou dépasser 4/k, il faut une décroissance plus lente. En prenant 1+1/n, 1/2 + 1/(n-1),.... on a la décroissance la plus lente possible. L'inconvénient est que la décroissance finit à n/2, et ensuite la courbe remonte. Pour pallier cela, il faut mettre 2 fois, en croisé, le même terme.
(1, 1/n, 1/2, 1/(n-1), 1/3, 1/(n-2)...) pour la 1ère suite et
(1/n, 1, 1/(n-1), 1/2, 1/(n-2), 1/3....) pour la seconde suite.

La sommation terme à terme donne:
(1+1/n, 1+1/n, 1/2+1/(n-1), 1/2+1/(n-1),....
qui atteint 4/k seulement quand k=n et n impair (légèrement inferieur à 4/k quand n est pair)

L'hypothèse est donc toujours vérifiée.

par **Imod** » 24 Mai 2008, 14:34

lapras a écrit:Bonjour, un exercice pas trop méchant...

:doh: :doh: :doh:

Imod

Permutation de {1,1/2,...,1/n}

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