Le peintre Russe

[fastandmaths]

Bonjour,
Douze peintres vivent dans douze maisons d’une même rue circulaire, peintes certaines en bleu et les autres en blanc.
Chaque fin de mois, l’un des peintres quitte sa maison avec ses pots de peinture et repeint chaque maison de la couleur contraire, en commençant par la sienne et dans l’ordre des aiguilles d’une montre. Il s arrête des qu’il a repeint une maison blanche en bleu. Durant une année, un peintre donné ne fait cela qu’une seule fois.
Prouver que, si au début de l année l’une au moins des maisons était peinte en bleu alors, a la fin de l année, chacune retrouvera sa couleur initiale.

[Ben314]

Salut,
Une façon simple de montrer le résultat c'est de coder l'état des 12 maison sur un mot de 12 bits [0 à 11] en base (2 avec 0=blanc et 1=bleu) en énumérant les maisons dans le sens trigo. (donc dans le sens inverse de celui que les peintres utilisent pour repeindre). Avec ce point de vue, lorsque le k-ième peintre sort repeindre sa maison et éventuellement les précédentes, ça signifie simplement qu'on a ajouté un 1 à la k-ième position dans le mot de 12 bits : s'il y a un 0 on met un 1 et c'est fini et, s'il y a un 1, on met un 0 et on a une retenue donc il faut ajouter un 1 au bit précédent et recommencer à colporter la retenue tant qu'on a des 1. Et si ça dépasse la capacité des 12 bits alors la retenue qu'on devrait avoir sur le bit 12 se reporte sur le bit 0.
Ensuite, vu que chaque peintre sort une fois, ça signifie qu'au total on va ajouter 1111....111 ce qui va forcément provoquer un unique dépassement de capacité (le nombre de départ est non nul vu que "au début l’une au moins des maisons était peinte en bleu") ce qui va provoquer une addition supplémentaire de 1 et donc au total on aura ajouté 1000...000 sans le 1 de départ (qui correspond à la retenue déjà évoquée) donc on aura ajouté 000...000 c'est à dire qu'on aura rien changé.

[fastandmaths]

Salut,

J' ai fais fausse route malgré quelques illustration ! L'idée que tu exposes est astucieuse.

Pour ma part, j 'ai attribué successivement tous les entiers positifs ou nuls dans un ordre précis aux maisons en tournant dans le sens des aiguilles d' une montre. La première maison choisi portera les numéros 0,12,24.. Celle juste après ,toujours dans le sens des aiguilles d'une montre portera les numéros 1,13,25,,, et ainsi de suite
Ceci me fait penser aux congruences , par ailleurs si je choisis deux nombres pour une maison l' équation s'écrirait : (mod 12) ma difficulté c 'est de comprendre le comportement à l'infini, la construction d'une suite ..sans conviction.