Un parcours dans n^3

[miikou]

salut

On considere une courbe formée de segmet entre les elements de IN^3
peut on trouver une telle courbe passant par tout les pts de IN^3 exactement une seule fois et tq si 3 pts sont liés :

a-b-c

alors ab et bc sont orthogonaux ?

[Doraki]

on a le droit de passer plusieurs fois par un même point ?

[miikou]

salut,

et bien non, dailleurs je n'ai pa regardé dans le cas ou on a le droit

[Doraki]

je comptais rester sur place entre chaque déplacement, vu que le vecteur nul est orthogonal à tout le monde, ça facilite un peu.

Mais en fait j'ai une solution avec que des déplacements de longueur 1.

[miikou]

oui on peut en profiter ?

[Doraki]

Je montre par récurrence qu'on peut remplir des cubes de taille 2^n, en entrant par une direction quelconque dans un coin du cube et en sortant par une direction quelconque par un coin adjacent du cube (à l'autre cout d'une arête).

Pour n=1, on a les quatre trajets
000 -> 001 -> 011 -> 111 -> 101 -> 100 -> 110 -> 010.
000 -> 001 -> 101 -> 100 -> 110 -> 111 -> 011 -> 010.
000 -> 100 -> 110 -> 111 -> 101 -> 001 -> 011 -> 010.
000 -> 100 -> 101 -> 001 -> 011 -> 111 -> 110 -> 010.

Selon les directions des trajets qu'on veut faire en entrant et en sortant du cube, il y a toujours moyen de faire 000 => 010.
On peut permuter les axes pour voir qu'on peut sortir de n'importe quel coin adjacent au coin d'entrée.

Ensuite, si on sait remplir des cubes de coté a, pour remplir un cube de coté (2*a), on fait :

(0,0,0) => (0,0,a-1) -> (0,0,a) => (0,a-1,a) -> (0,a,a) => (0,2a-1,a)
-> (0,2a-1,a-1) => (a-1,2a-1,a-1) -> (a,2a-1,a-1) => (2a-1,2a-1,a-1)
-> (2a-1,2a-1,a) => (2a-1,a,a) -> (2a-1,a-1,a) => (2a-1,0,a)
-> (2a-1,0,a-1) => (2a-1,0,0).

Les flèches => disent que on remplit un cube entier, les flèches -> disent qu'on fait un déplacement simple.

Donc voilà on sait remplir des cubes de taille 2^n pour n quelconque.
En permutant les 3 axes convenablement pour chaque n, on peut faire en sorte d'avoir une courbe infinie dont les 2^(3n) premiers déplacements correspondent au remplissage d'un cube de coté 2^n.

[Finrod]

Pour n=1, on a les quatre trajets
000 -> 001 -> 011 -> 111 -> 101 -> 100 -> 110 -> 010.
000 -> 001 -> 101 -> 100 -> 110 -> 111 -> 011 -> 010.
000 -> 100 -> 110 -> 111 -> 101 -> 001 -> 011 -> 010.
000 -> 100 -> 101 -> 001 -> 011 -> 111 -> 110 -> 010.

Pour n=0 plutôt non ? pour obtenir le cube unité.


Bon, je viens de me rendre compte qu'il n'était pas nécessaire de parcourir toutes les arrêtes, forcément, j'avais du mal.

Du coup ok.

[ffpower]

Et dans N², ca donne quoi?

[miikou]

on est pas allez faire les stages animath pour rien hein boritchev