Parcours d'un câble (niveau supérieur et plus)

[BenoitP]

Bonjour,

Je rencontre un problème épineux :
Une gaine faisant une longueur L va d'un point A à un point B. On connait les coordonnées de A et B ainsi que les tangeantes à la gaine en ces points. La gaine est très raide, donc on peut négliger la gravité devant les forces élastiques internes.

Le but est de déterminer la position de chaque point de la gaine dans l'espace. Je sais qu'il existe de nombreuses manières de mettre en oeuvre ce problème en éléments finis, mais je souhaite trouver une solution par un autre moyen car ça me parait long, coûteux et peu élégant.

Je pensais donc poser un problème de minimisation. En effet, pour minimiser son énergie élastique, le câble va toujours chercher à minimiser l'intégrale de sa courbure au carré ().

En paramétrant le câble par son abscisse curviligne s, on passe très facilement du vecteur position au vecteur courbure (il suffit de dériver 2 fois par rapport à s) et à la courbure elle-même qui n'est que la norme de . Il me semblait que c'était la bonne manière de paramétrer le problème.

Ayant posé peu de problèmes d'optimisation dans ma vie, je ne sais pas si je m'y suis bien pris mais il me semble que sans supposer de forme pour , on arrive à rien. J'ai beaucoup de mal à résoudre la contrainte que la gaine fait la longueur L ()...

Quelqu'un a-t-il déjà rencontré un problème similaire et serait susceptible de m'aider ? J'ai l'impression que la solution n'est pas loin mais je ne la vois pas.

Merci d'avance.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut !

Je n'ai peut-être pas le niveau pour résoudre ton problème, mais lorsque tu dis que la force de pesanteur peut être négligée devant les forces élastiques qui ont lieu dans la gaine, cela voudrait-il dire que ta gaine et tendue ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai la même réaction que Kikoo.
A lire le début, on se dit :"c'est une chainette". Puis quand on lit que la pesanteur doit être négligée, ça marche plus.
J'ai fait des mesures à titre expérimental et par curiosité, une "gaine" très légère et maintenue en tension vers le haut (pour négliger la pesanteur) suit la forme d'une parabole. le blocage des extrémités était libre et non sous contrainte.
J'ai lu à ce moment-là différentes choses et mes résultats semblaient correspondre à la théorie.
Par ailleurs, la chainette est souvent assimilée à une parabole, par exemple pour les lignes électriques.
Je peux retrouver de la doc sur les lignes électriques, mais pour une gaine en tension, je n'ai que mes mesures.

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai pensé à la même chose que Dizlo !

Là je me suis dit qu'un simple calcul de tension ferait l'affaire, pis finalement, faudrait que tu nous en dises plus ;)

[BenoitP]

Salut !

Je n'ai peut-être pas le niveau pour résoudre ton problème, mais lorsque tu dis que la force de pesanteur peut être négligée devant les forces élastiques qui ont lieu dans la gaine, cela voudrait-il dire que ta gaine et tendue ?

Oui c'est tout à fait ça. Le poids de la gaine ne change pas sa position dans l'espace. Je me suis aussi intéressé au problème de la chaînette, mais il est différent. Dans le cas de la chaînette, la gravité intervient en tant que champ de forces extérieures, ici la raideur de la gaine est prédominante et va piloter la position de la gaine dans l'espace. Si ça se résout de la même manière, tant mieux, mais je ne vois pas comment...

C'est le fait que la gaine soit dominée par sa raideur qui me fait penser à résoudre ça par la minimisation de l'énergie et donc de l'intégrale de la courbure au carré

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si c'est un problème réel, une petite indication nous aiderait peut-être, si c'est problème théorique, par exemple exercice, ce sera plus difficile sans les hypothèses exactes.
Je vais prendre un exemple simple : une poutre de pont, il est vrai que l'on néglige la gravité pour le calcul de son profil en long, puisque son but est de supporter des charges.
Si on doit prévoir des tuyaux aériens, on va les suspendre à des câbles et on sera exactement dans le cas de la chainette.
Je n'imagine pas de situation intermédiaire.

[BenoitP]

Bonjour,
J'ai la même réaction que Kikoo.
A lire le début, on se dit :"c'est une chainette". Puis quand on lit que la pesanteur doit être négligée, ça marche plus.
J'ai fait des mesures à titre expérimental et par curiosité, une "gaine" très légère et maintenue en tension vers le haut (pour négliger la pesanteur) suit la forme d'une parabole. le blocage des extrémités était libre et non sous contrainte.
J'ai lu à ce moment-là différentes choses et mes résultats semblaient correspondre à la théorie.
Par ailleurs, la chainette est souvent assimilée à une parabole, par exemple pour les lignes électriques.
Je peux retrouver de la doc sur les lignes électriques, mais pour une gaine en tension, je n'ai que mes mesures.

En fait, les bords sont nécessairement contraints : il faut imaginer un vélo : la gaine part de la commande avec une certaine direction et arrive sur la fixation du cadre avec une autre direction.

La piste des polynomes m'a semblé bien aussi et j'ai tenté de l'exploiter de la manière suivante :
je suppose une forme polynomiale pour le vecteur position paramétré par son abscisse curviligne , j'exprime la longueur du câble et la courbure en fonction de cette fonction et je tente de résoudre le problème de minimisation de avec la contrainte que la longueur du câble vaut L. ça n'a rien donné... je tombais sur le fait que la position ne pouvait pas être un polynome... :mur:

Je ne suis pas un boss en maths donc c'est très possible que je me sois planté, mais je m'appuyais sur des beaux théorèmes... ce qui me faisait dire que le polynome n'était pas possible c'est que ou encore Autrement dit tous les coefficients des degrés supérieurs à 1 sont nuls... (Après exploitation de ce résultat avec mes connaissances sur les polynomes)

Encore une fois, peut-être que je me complique la vie, mais si c'est le cas, je ne fais pas exprès !
^^

J'essaye d'être le plus précis possible mais malheureusement, ce n'est pas un énoncé d'exercice, c'est plutôt un challenge que j'ai rencontré un peu en marge de mon boulot et qui correspond à un cas tout à fait réel (c'est une gaine de vélo). C'est pourquoi, si il manque des précisions désolé ! Demandez-les moi il y a pas de problème. Et merci des vos réponses super rapides.

[Dlzlogic]

Oui, ça y est, j'ai compris.
Vous devriez aller vous du côté des courbes de Béziers, mais ça dépasse mes compétences.
Si j'avais à le faire, le commencerais par trouver un transformation qui ramène tout dans un plan, sans rien changer d'autre que la torsion de la gaine. Le problème sera alors plus facile.
Et alors, je suis presque sûr que vous arriverez à une parabole comme "meilleur chemin".

[nodjim]

Par 2 points, on peut faire passer une infinité de cercles. En imposant les tangentes à ces 2 points, il reste au mieux un seul cercle. Ce cercle est la courbe idéale pour passer d'un point à un autre selon une courbure fixée. Mais apparemment, tu voudrais raccourcir le trajet en imposant une courbure minimale. Ne serait ce donc pas finalement 2 arcs de cercles reliés par un segment de droite ?

[Dlzlogic]

Bonjour nodjim,
Notre ami a une courbe gauche dont on connait le départ et l'arrivée (vecteurs origine et vecteur extrémité). On est dans un espace 3D.
Si on cherche la plus petite longueur et si on connait le rayon de courbure minimum acceptable, cette longueur sera effectivement la somme de 2 arcs de cercle de rayon r connu et du segment joignant les tangentes aux deux arcs.
Comme les vecteurs extrémités ne sont pas coplanaires, c'est une courbe gauche, et donc pas des arcs de cercles.

Si on prend l'hypothèse de rayon minimum aux extrémité, les extrémités du segment de liaison seront sur une sphère. On construit le plan tangent aux sphères (celui qui nous intéresse) et on détermine le segment (je crois que j'ai été un peu vite, puisqu'on ne connait pas le centre des sphères).

En supposant que mon raisonnement est bon jusque là, il existe un rayon r tel que les deux arcs de cercles sont tangents.
Cette dernière proposition est fausse : la courbe suivie est une courbe gauche, ce ne peut donc pas être un arc de cercle qui est une courbe plane.
Tout ceci est peu confus, j'ai réfléchi tout haut. :hum:

[Archytas]

J'ai fait des mesures à titre expérimental et par curiosité, une "gaine" très légère et maintenue en tension vers le haut (pour négliger la pesanteur) suit la forme d'une parabole.

Il me semble qu'une chainette à la forme d'un cosinus hyperbolique et non d'une parabole !

[Kikoo <3 Bieber]

Il me semble qu'une chainette à la forme d'un cosinus hyperbolique et non d'une parabole !

C'est ce qu'on dit Mais en approximation expérimentale, il semblerait que Dizlo en soit arrivé à des paraboles avec ses cintres, et non à des chaînettes ! La discussion remonte à cet été non ?

[Dlzlogic]

Il ne faut pas confondre la chainette qui est une courbe parfaitement définie mais que l'on peut approximer valablement par une parabole pour le calcul de la position d'un câble électrique en un endroit donné (article lu dernièrement) et la mesure expérimentale d'une tige homogène maintenue en flexion sans contrainte aux extrémités.
Ce sont deux situation complètement différentes. La première, il s'agit d'un matériau considéré infiniment souple, la seule force en présence est celle de la gravité, en plus des fixations aux extrémités, naturellement.
La seconde, il s'agit d'un matériau de flexibilité homogène, maintenu en flexion sans contrainte.

Le cas proposé par le présent sujet utilise un matériau de flexibilité homogène ET maintenu par contrainte à l'origine et à l'extrémité, ce qui fait que on situe dans un espace 3D, contrairement à la chainette et à la tige cintrée.

@ Kikoo, dis donc, t'as de la mémoire et tu lis ce que j'écris . :ptdr:

[Archytas]

Il ne faut pas confondre la chainette qui est une courbe parfaitement définie mais que l'on peut approximer valablement par une parabole pour le calcul de la position d'un câble électrique en un endroit donné (article lu dernièrement) et la mesure expérimentale d'une tige homogène maintenue en flexion sans contrainte aux extrémités.
Ce sont deux situation complètement différentes. La première, il s'agit d'un matériau considéré infiniment souple, la seule force en présence est celle de la gravité, en plus des fixations aux extrémités, naturellement.
La seconde, il s'agit d'un matériau de flexibilité homogène, maintenu en flexion sans contrainte.

Le cas proposé par le présent sujet utilise un matériau de flexibilité homogène ET maintenu par contrainte à l'origine et à l'extrémité, ce qui fait que on situe dans un espace 3D, contrairement à la chainette et à la tige cintrée.

@ Kikoo, dis donc, t'as de la mémoire et tu lis ce que j'écris . :ptdr:

Trop compliqué ! Je vais me coucher.

[Kikoo <3 Bieber]

Trop compliqué ! Je vais me coucher.

Lol, bonne nuit

Non mais en fait, c'est de la rigidité des matériaux, branche de la mécanique que nous n'avons pas encore vue !

PS : merci Dizlo, ça fait fait plaisir Et moi qui croyais avoir une mémoire de poisson rouge...

[Archytas]

Lol, bonne nuit

Non mais en fait, c'est de la rigidité des matériaux, branche de la mécanique que nous n'avons pas encore vue !

PS : merci Dizlo, ça fait fait plaisir Et moi qui croyais avoir une mémoire de poisson rouge...

La différence de la forme n'est pas due à la masse de chaque point du fil ? Enfin à priori il ne m'aurait pas semblé que ça joue sur le forme si on rajoute ponctuellement la même masse partout !

[Dlzlogic]

La différence de la forme n'est pas due à la masse de chaque point du fil ? Enfin à priori il ne m'aurait pas semblé que ça joue sur le forme si on rajoute ponctuellement la même masse partout !

On parle de quel cas
1- chainette
2- cintrage sans contrainte
3- présent sujet
Si c'est sur le présent sujet, si la masse, c'est à dire les forces résultantes de la gravité, n'est pas négligeable, le problème est complètement différent.