Parametrisation de courbe impossible?

par **wkta** » 14 Aoû 2009, 23:17

Salut,

C'est plus deux questions peu communes qu'une énigme:

Existe t-il une représentation paramétrique (i.e. couple x(t) y(t) )pour toute les courbes planes ?
Y a t-il un critère permettant de savoir ? Par exemple si je cherche une paramétrisation d'une courbe repr. implicitement : F(X,Y)=0 , depuis un bon mois est-ce qu'il est "démontrable" que la solution n'existe PAS ? Ou est-ce que j'abandonne dans le doute (ce qui serait horrible n'est-ce pas)

p.s: la courbe en question est une courbe "transcendante".. .Si quelqu'un se sent d'attaque faites signe

par **Ericovitchi** » 15 Aoû 2009, 12:58

Non, je pense que toute courbe ne peut pas s'exprimer sous une forme paramétrique et qu'il n'y a pas de critère. C'est un peu comme les intégrales, certaines ne peuvent pas s'exprimer sous une forme simple.

Mais je ne sais pas le démontrer.

Il y déjà eu des posts sur ces notions d'expression de fonctions
Par exemple cet article

par **nuage** » 18 Aoû 2009, 00:15

Salut,
c'est là que l'on aimerait avoir une définition d'une courbe.
Pour ma part je dirais que, par définition, toute courbe de R² peut s'écrire sous forme paramétrique.
Mais j'ai peut-être tort.

par **mathelot** » 19 Aoû 2009, 17:24

nuage a écrit:Salut,
c'est là que l'on aimerait avoir une définition d'une courbe.
Pour ma part je dirais que, par définition, toute courbe de R² peut s'écrire sous forme paramétrique.
Mais j'ai peut-être tort.

la courbe de Péano ?

par **nuage** » 19 Aoû 2009, 21:29

mathelot a écrit:la courbe de Péano ?

un lien utile

Mais le problème reste de savoir ce que l'on entend par courbe.
Pour moi une courbe de R² est par définition une application d'une partie de R dans R². Et elle est donc paramétrisable.

par **nuage** » 24 Aoû 2009, 20:49

Je m'étonne de ne voir aucune critique de la définition que j'ai donné d'une courbe.
Elle est pourtant vraiment insatisfaisante.
Problème (facile) :
Pourquoi cette définition (post précédent) n'est elle pas <> ?

par **PrépaQuébec** » 24 Aoû 2009, 22:09

Une meilleure définition serait: une courbe est un sous-ensemble de R2?

Une fractale n'est peut-être pas paramétrable? Donc TOUTES les courbes ne sont pas paramétrable. Si on admet les dimensions fractionnaires :)

par **skilveg** » 25 Aoû 2009, 10:01

Une courbe serait une sous-variété (au sens de la topologie) de dimension 1 (sinon (par exemple à cause de Peano) un carré plein serait une courbe ce qui n'est pas complètement satisfaisant, même si elle est bien paramétrée continûment). Du coup il faut travailler un peu mais il me semble qu'elle est paramétrable. A vérifier.

par **Doraki** » 25 Aoû 2009, 10:13

Avec la définition de nuage, n'importe quel sous ensemble non vide de R² est une courbe paramétrable.

Sinon, est-ce que l'ensemble formé de deux droites parallèles disjointes est une courbe paramétrable ?

par **skilveg** » 25 Aoû 2009, 10:16

Ah ok... "sous-variété connexe de dimension 1" est peut-être mieux ;)

(Au fait, pourquoi toute partie non vide est paramétrable? ça ne me paraît pas évident...)

par **Doraki** » 25 Aoû 2009, 17:30

Ben tu prends un point p de ton ensemble, ainsi que ta surjection favorite f de R dans R²,
et tu prends la paramétrisation t -> f(t) si f(t) est dans l'ensemble ; p sinon.

par **skilveg** » 25 Aoû 2009, 17:48

Ah oui, en effet.

par **nuage** » 28 Aoû 2009, 23:23

Salut,

Doraki a écrit:Sinon, est-ce que l'ensemble formé de deux droites parallèles disjointes est une courbe paramétrable ?

Que l'on puisse donner une paramétrisation d'un tel ensemble est trivial.
Est-ce une courbe ?

j'attends une définition.

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