Olympiades Internationales 2004

[Calvinator2000]

Bonsoir,

Je suis tombé sur ce sujet qui m'avait l'air somme toute sympathique :

"Trouver tous les polynômes P, à coefficients réels, tels que P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c) pour tous les triplets (a,b,c) de nombres réels tels que ab+bc+ca=0."

Quelqu'un aurait-il une solution élégante à fournir ?

[Al-Kashi]

Salut,

est un polynôme pair, de degré et sans terme constant càd avec .
Évidemment, le polynôme nul convient.

La méthode est longue pour l'exposer ici, mais je me rappelle que je l'ai fait il y a quelques années.

[Ben314]

Salut,
En fait, on peut prendre (quasiment) n'importe quel cas particulier pour pour conclure, modulo de penser à multiplier le "cas particulier" par une variable :

Par exemple vérifient donc aussi (avec quelconque) et on a pour tout réel .

Si , vu que le seul polynôme nul sur tout entier est le polynôme dont tout les coeff. sont nuls, on doit avoir pour tout entier .
Or une petite étude montre que n'est nul que pour et (*) donc ce sont les deux seules valeurs pour lesquelles on peut éventuellement avoir

On vérifie réciproquement que les polynômes et sont solution du problème et on en déduit que les solution sont très exactement les polynômes de la forme

(*) On peut par exemple commencer par voir que l'égalité modulo 3 donne pair puis que, pour on a

[Calvinator2000]

Tu as bien fait de préciser le "modulo de penser" . Belle solution en tout cas. Cette façon de généraliser une solution particulière peut-elle s'interpréter géométriquement ou algébriquement ? Le vecteur (6,3,-2) est-il vecteur propre d'une quelconque matrice ?

[Ben314]

Je sais pas si on peut voir le (6,3,2) comme vecteur propre. Sans doute que oui, mais est-ce que ça apporterais quelque chose, j'en sais rien.
Perso., j'aurais trouvé bien plus jolie une solution qui utilise le polynôme

De façon à ce que la condition se traduise par le fait que R ne contient pas de terme en T, mais j'ai rien trouvé...

Là, que la preuve consiste essentiellement à résoudre bêtement alors que les nombres 3, 5, -8 et 7 ne sont pas franchement lié au problème (ils proviennent d'une solution particulière de ab+bc+ca=0 parmi tant d'autres) je trouve pas ça terrible.
De même, le fait qu'on ait pris au pif une solution, ça oblige à vérifier dans l'autre ses que X^2 et X^4 sont effectivement solutions et, rédigé comme ça, c'est une espèce de "miracle" que ça marche effectivement pour X^2 et X^4 (vu qu'on est parti d'un simple cas particulier de ab+bc+ca=0 (*) ).

Bref, il doit surement y avoir bien plus joli. Là, on va dire que LE intérêt, c'est que c'est assez court.

(*) Là où il y a "miracle", c'est que si tu cherche à paramétrer les solutions de ab+bc+ca=0, il te faudra clairement 2 paramètres (dit avec des mots techniques, c'est une variété de dimension 2) alors que dans la preuve, en fait on utilise qu'un seul paramètre, le fameux et c'est étonnant qu'avec cet unique paramètre on obtienne au final exactement les bonnes solutions et pas plus.

[Calvinator2000]

Pareil que toi, j'ai cherché une condition avec les relations coefficients-racine des polynômes mais je n'ai rien trouvé. J'étais parti sur une paramétrisation, en remarquant préalablement que P est paire, sans terme constant etc... mais c'est long et fastidieux et manque d'élégance, je ne pense pas que ça soit un raisonnement attendu. Bref, c'est la beauté des mathématiques, on peut écrire des pages ou bien quelques lignes en trouvant une solution miraculeuse