Olympiades Académiques !

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Je passe les olympiades académiques dans 2 jours
Je crée ce topic pour que vous me souhaitiez bonne chance !

Pourriez-vous me donner un coup de main avec quelques petits exos ! Histoire de finaliser mes préparations... merci bien!


Le nombre 1 000 est la somme de cinq entiers consécutifs :
1 000 = 198 + 199 + 200 + 201 + 202
Trouver une autre façon d’écrire 1 000 comme somme d’entiers consécutifs

Je ne comprends pas l'énoncé :doh:

Exercice 2:
On dispose d’un ensemble de 5 entiers. Si on les ajoute deux à deux, on obtient les dix sommes suivantes :
2001, 2006, 2007, 2008, 2009, 2014, 2017, 2018, 2023, 2025.
Quels sont ces 5 nombres ?

Exercice 3:

Soient quatre réels a, b, c, d tels que a < b < c < d.
On pose x = (a + b)(c + d), y = (a + c)(b + d), z =(a + d)(b+ c).
Comparer les nombres x , y et z

Voilà, pour le 2e exo, j'ai sommé tous les nombres et j'ai trouvé que:
a + b + c + d + e = 5032

En supposant que a < b < c < d < e

J'ai pu déduire que d + e = 2025
Et a + b = 2001
Donc c = 1006

Mais pour le reste, je vois pas...

[Euler07]

Salut

Pour le 1 essaye de voir s'il existe n entier tel que n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 1000 (La c'est la somme de 4 entiers consécutifs)

:livre:

[Lostounet]

Salut

Pour le 1 essaye de voir s'il existe n entier tel que n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 1000 (La c'est la somme de 4 entiers consécutifs)

:livre:

Ah !! J'ai cru qu'ils voulaient du coup "5 autres entiers consécutifs" ce qui n'est pas possible naturellement...

Si on pose x le premier nombre, alors le second est x + 1, le kième est x + (k - 1).
On cherche un k entier tel que:

kx + 1 + 2 + ... + (k - 1) = 1000

La somme des 1 jusqu'à k est k(k + 1)/2, on en soustrait k.
C'est la formule générale:

kx + k(k + 1)/2 - k = 1000
Isolons x (entier naturel)

x = ... >= 0

En étudiant le signe du membre de droite, on peut déduire que k doit être compris entre 0 et 45...
Lorsque k = 5, on voit que x est proche de 200....
J'y réfléchis.

Des pistes?

[Euler07]

Tu te compliques la vie car il demande une autre façon d'écrire 1000 comme sommes d'entiers consécutifs et non pas de trouver toutes les façons

:livre:

[Lostounet]

C'est toujours mieux d'essayer de trouver un truc général, non ? :we:

Wolfram vient de me donner tous les entiers naturels solutions de l'équation :D
k = 1 ; x = 1000
k = 5; x = 198
k = 16; x = 55
k = 25; x = 28

Je pense que c'est bon ! Mais comment fait-il pour les trouver :/

[Euler07]

Euh, t'es sur ? Parce que aucun de ces nombres sont consécutifs

:livre:

[Lostounet]

Je comprends pas?
Si on prend x = 55; k = 16:

55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 + 70 = 1000
C'est bon?

[Zweig]

Pour ton premier exercice, on ne te demande pas de tous les trouver ... 1000 = 999 + 1 convient donc

Mais je suppose justement qu'ils voulaient plutôt toutes les manières ...





Ca fait donc pas mal de cas à tester ...

EDIT : Ton équation est à deux inconnues.

EDIT 2 : T'as (a priori) autant de solutions que de diviseurs de 2000, soit , comme k doit être un diviseur de 2000, ayant k, tu en déduis n qui existe forcément (pour les valeurs de k adéquates car on a 2n et non n)

[Lostounet]

Salut Zweig,

Il n'existe pas de méthode générale pour résoudre une équation sur N comme k(2n + k - 1) = 2000 ?

[Zweig]

Regarde mon edit 2

[Zweig]

Je suis allé un peu trop vite. Pour chaque valeur de k diviseur de 2000, il n'existe pas forcément une valeur de n. Il n'existe n que pour les diviseurs impairs de 2000 (vois pourquoi). Du coup, cela réduis les cas à tester :lol3:

[Lostounet]

Je suis allé un peu trop vite. Pour chaque valeur de k diviseur de 2000, il n'existe pas forcément une valeur de n. Il n'existe n que pour les diviseurs impairs de 2000 (vois pourquoi). Du coup, cela réduis les cas à tester :lol3:

Bon, little by little :p

Déjà, comment t'as trouvé le nombre de diviseurs si vite? Moi je les compte un à un :p

k(2n + k - 1) = 2000

2n + k - 1 = 2000/k

Si k est pair, alors 2n + k - 1 est entier et impair. Or 2000/k est entier, il doit être pair mais c'est pas toujours vrai ...

Mais si k est impair, 2n + k - 1 est pair et si 2000/k existe, alors il est toujours pair...
Donc il est préférable qu'il soit impair, mais je n'arrive pas à le montrer :/

Désolé, je dis peut-être des bêtises, je suis nul en arithmétique.

[Zweig]

J'ai dit une bêtise, comme d'après ton exemple k = 16 marche ^^

Reprenons

A partir de cette réécriture de 2000, forme tous les produits de deux facteurs possibles qui donnent 2000. Tu auras donc, pour chaque réécriture, une équation facile à résoudre (et comme k < 2n + k - 1, y a qu'une seule solution possible)

[Zweig]

D'ailleurs, si on considère le système

k = a

2n + k - 1 = b

Il n'a de solutions en (n,k) que si b + 1 - a est pair, càd b-a impair, càd a et b de parités différentes, avec a < b. Du coup, ça réduit les cas à traiter.

[Lostounet]

Je comprends ce que tu dis dans l'ensemble, mais je suis comme perdu dans le néant de l'exo :(
Je vais essayer de faire étape par étape.

[Zweig]

2000 = 2 * 1000 = 4 * 500 = ... etc ... Donne toutes les combinaisons possibles en te basant sur la décomposition en facteurs premiers donnée plus haut.

Pour chaque décomposition en un produit de deux facteurs , (car le membre de gauche de l'équation est un produit de deux nombres), tu auras à résoudre le système

k = a

2n + k - 1 = b

Ce système implique : 2n = b + 1 - a. Donc pour que ton système admette des solutions en (n, k) il faut (et suffit) que (a < b) et (b et a de parité différente).

Du coup, ça réduit les combinaisons de t'alleurs, et donc les cas à tester.

[manoa]

Salut,

pour le 3eme, calcule la différence et essaye de factoriser de façon à trouver un truc positif ou négatif.

Sinon si tu veux t'entrainer, tu peux trouver ici nos Olympiades de Première (si tu cherches un peu tu peux même trouver ceux de l'année dernière, un peu plus hard (j'étais disqualifié au premier tour :ptdr: )^^)

et bonne chance

[Lostounet]

Salut,

pour le 3eme, calcule la différence et essaye de factoriser de façon à trouver un truc positif ou négatif.

Sinon si tu veux t'entrainer, tu peux trouver ici nos Olympiades de Première (si tu cherches un peu tu peux même trouver ceux de l'année dernière, un peu plus hard (j'étais disqualifié au premier tour :ptdr: )^^)

et bonne chance

Salut!
Je vais essayer Merci!

Et c'est dommage :/ C'est sûr que si je passe vos olympiades, je serai disqualifié avant le 1er tour même :p

Merci Zweig pour ton aide!

[Zweig]

Il faut plutot que tu étudies les différences 2 à 2 : x - y, x - z et y - z

[Lostounet]

J'ai trouvé:



x - y = (a - d)(c - b)

y - z = (b - a)(c - d)

x - z = (c - a)(b - d)