Olympiade mathématique

[M@thIsTheBest]

J'ai passé l'olympiade mathématique et je veux vraiment savoir la solution du 4éme exercice:
l'énoncé:
Soit n un entier naturelle supérieur à 2.
Soit p un entier premier tel que n divise p-1 et p divise .
Prouver que 4p-3 est un carré parfait.

[Doraki]

n divise p-1 donc p > n.
p divise (n^3-1) = (n-1)(n²+n+1)
p ne peut pas diviser (n-1) donc il divise (n²+n+1)

il existe donc deux entiers a et b >= 1 tels que
(p-1)= a*n
(n²+n+1) =b*p = b+abn,
Donc b-1 est multiple de n :
il existe un entier c >= 0 tel que b = 1+c*n,
donc n²+n+1=1+cn+abn, soit
n+1 = a+pc = a+c+acn, ce qui force c=0.

Donc en fait, p = n²+n+1.

[M@thIsTheBest]

n divise p-1 donc p > n.
p divise (n^3-1) = (n-1)(n²+n+1)
p ne peut pas diviser (n-1) donc il divise (n²+n+1)

il existe donc deux entiers a et b >= 1 tels que
(p-1)= a*n
(n²+n+1) =b*p = b+abn,
Donc b-1 est multiple de n :
il existe un entier c >= 0 tel que b = 1+c*n,
donc n²+n+1=1+cn+abn, soit
n+1 = a+pc = a+c+acn, ce qui force c=0.

Donc en fait, p = n²+n+1.

Bon, toute la démarche que tu as écrit au début je l'ai écrit dans l'épreuve

p divise (n^3-1) = (n-1)(n²+n+1) p ne peut pas diviser (n-1) donc il divise (n²+n+1) il existe donc deux entiers a et b >= 1 tels que (p-1)= a*n (n²+n+1) =b*p = b+abn

mais, pourquoi n divise b-1?
:c'est bon pour le reste..

[Doraki]

(p-1)= a*n
(n²+n+1) =b*p = b+abn,
donc b-1 = n²+n-abn = n*(n+1-ab)
on appelle c = n+1-ab : b-1 = n*c.
Comme b>=1, on a b-1>=0, donc c >= 0.

Ensuite,
n²+n+1 = b*p = (1+cn)(1+an) = 1+(a+c)n+acn²,
donc n+1 = a+c+acn >= 1+c+cn,
donc c(1+n) <= n.
donc c=0, puisque c'est un entier.

[M@thIsTheBest]

(p-1)= a*n
(n²+n+1) =b*p = b+abn,
donc b-1 = n²+n-abn = n*(n+1-ab)
on appelle c = n+1-ab : b-1 = n*c.
Comme b>=1, on a b-1>=0, donc c >= 0.

Ensuite,
n²+n+1 = b*p = (1+cn)(1+an) = 1+(a+c)n+acn²,
donc n+1 = a+c+acn >= 1+c+cn,
donc c(1+n) = 1+c+cn,

[Doraki]

Pouvez vous expliquer de plus cette inégalité svp:

n²+n+1 = 1+(a+c)n+acn²,
donc n(n+1) = n(a+c+acn).
Comme n est non nul, on peut diviser par n pour obtenir n+1 = a+c+acn.
Ensuite, comme a>=1 et que c et n sont positifs, acn >= cn, donc n+1 >= 1+c+cn.

[M@thIsTheBest]

n²+n+1 = 1+(a+c)n+acn²,
donc n(n+1) = n(a+c+acn).
Comme n est non nul, on peut diviser par n pour obtenir n+1 = a+c+acn.
Ensuite, comme a>=1 et que c et n sont positifs, acn >= cn, donc n+1 >= 1+c+cn.

Ok, Bravo monsieur. Merci beaucoup..
Tu es en prépa ?

[M@thIsTheBest]

n²+n+1 = 1+(a+c)n+acn²,
donc n(n+1) = n(a+c+acn).
Comme n est non nul, on peut diviser par n pour obtenir n+1 = a+c+acn.
Ensuite, comme a>=1 et que c et n sont positifs, acn >= cn, donc n+1 >= 1+c+cn.

Bon, si tu prend c=0, revenant à ce qu'on a écrit au début:

Ensuite,
n²+n+1 = b*p = (1+cn)(1+an) = 1+(a+c)n+acn²

et si c=0 alors on aura n²+n = an
n(n+1-a)=0 (n+1-a)= 0 et donc tu ne peux pas fixer le a ?

[Doraki]

Donc a=n+1 ?

[M@thIsTheBest]

et donc comment trouver le p en fonction de n

[M@thIsTheBest]

Oui, je sais et j'ai cru que le p dépend vraiment du a, mais trouver le a ne sert à rien

(n²+n+1) =b*p

, le b suffit pour terminer la démonstration..
donc:b=1,a=n+1 et c=0..OK Bravo monsieur..Merci beaucoup.