OIM 84

[LjjMaths]

Salut à tous,
J'ai trouvé un exo sympa que je trouve assez compliqué, comment le résoudriez vous (on va dire que c'est plus un défi car pour le coup j'ai la solution )
Soient , , et des entiers positifs impairs vérifiant , , , pour des entiers et
Prouver que

[chan79]

salut
Ca me paraît faux
3<5<11<29
3+29=
5+11=
Vérifie le texte

[nodgim]

@ chan79 : il faut ad = bc

[Ben314]

Et le ad=bc est bien dans le message de LjjMaths :

... vérifiant [.tex]a<b<c<d[/tex], [.tex]ad=bc[/tex], [.tex]a+d=2^k[/tex]...

Je sais pas pourquoi il est pas passé à la compilation....

[LjjMaths]

Oui oui j'ai bien mis ad=bc

[Lostounet]

Salut à tous,
J'ai trouvé un exo sympa que je trouve assez compliqué, comment le résoudriez vous (on va dire que c'est plus un défi car pour le coup j'ai la solution )
Soient , , et des entiers positifs impairs vérifiant , , , pour des entiers et
Prouver que

Je sais pas si on peut interpréter ce problème comme une matrice 2x2 sur Z, à coefficients a, b, c et d.
Elle a pour polynome caractéristique:


Mais tr(M) = a + d = 2^k
et det(M) = 0
Donc deux valeurs propres: X = 0 et X = 2^k

Peut-être se ramener à une (non) inversibilité dans Z...

[Ben314]

J'ai, mais... c'est bien pourri... (donc à améliorer...)


Notons déjà que donc .
Notons aussi que donc c'est à dire .
Notons enfin que donc

Posons .


Les deux termes de droite sont de même parité et, vu que , ils sont pairs et est impair :

Mais et sont de parité différente (car leur somme est impaire) et, quitte à remplacer par , on peut supposer que est impair donc est aussi impair et celà signifie que .
Or donc et, comme la seule solution pour que soit vrai est que et que donc et .
donne alors c'est à dire

En "remontant" les déduction, on trouve que donc, vu que on a et et, bien sûr, .
Bref, les solutions sont avec .

EDIT : à Lostounet (j'avais pas vu ton post) : ça semble pas con du tout, mais je vois pas trop comment "injecter" la condition b+c=2^m dans de l'algèbre linéaire (peut-être qu'il apparait plus ou moins "naturellement" dans les calculs, mais... pas sûr...)

[Lostounet]

D'ailleurs si on voulait "diagonaliser" cette matrice c'est possible?
La matrice de passage P serait dans Z ou dans N? Ou dans Q...???

On trouve des conditions du style ax+by=0 donc x et y ne sont pas du même signe. Donc P serait dans Z mais là encore c'est contraignant pour avoir un det inversible dans Z ...

[Al-Kashi]

Et le ad=bc est bien dans le message de LjjMaths :

... vérifiant [.tex]a<b<c<d[/tex], [.tex]ad=bc[/tex], [.tex]a+d=2^k[/tex]...

Je sais pas pourquoi il est pas passé à la compilation....

Bonsoir,
Il fallait mettre [tex] au lieu de [.tex].

[Ben314]

Il fallait mettre [.tex].

Les ., c'est moi qui les ait rajoutés pour qu'on voit les balises.

"Cite" le message de LjjMaths pour voir son contenu (non compilé) et dit moi pourquoi le ad=bc qui est dedans n'apparait pas dans la version compilée.

EDIT : et à la limite, tu peut aussi "citer" le mien pour voir que mon propre ad=bc donne à la compilation un résultat... étrange : [tex]ad=bc"/>
AUTRE TESTS :







il semblerais que ce soit tout ce qui commence par "ad=" que le nouveau MimeTeX aime pas...
(ça nous change un peu de l'ancien qui aimait pas les signe "moins" en début de code... )

[Ben314]

D'ailleurs si on voulait "diagonaliser" cette matrice c'est possible?
La matrice de passage P serait dans Z ou dans N? Ou dans Q...???

Evidement dans Q, on peut diagonaliser.
Par contre, même dans Z, c'est tout sauf clair qu'on peut : on peut trivialement trouver des vecteurs propre dans Z donc une matrice de passage à coeff. dans Z, mais il faut aussi qu'elle ait un déterminant égal à +-1 pour que son inverse soit à coeff. dans Z et là, j'ai de gros doutes.

EDIT : Je viens de tester histoire d'être sûr : et ne sont pas conjuguées dans le groupe .

[Lostounet]

Par contre dans ta matrice A, les coefficients ne sont pas rangés a<b<c<d non? Ou peu importe?

Moi je voulais (aussi) tenter de transformer A par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes en exploitant les conditions sur a, b, c, et d...(comme ils font ici https://perso.univ-rennes1.fr/romain.ba ... 0v2014.pdf
page 5 par exemple)

Je me souviens vaguement que mon prof faisait cela pour faire apparaitre un 1 en haut à gauche (sous certaines conditions) de la matrice. Mais j'ai un peu oublié

[Ben314]

Par contre dans ta matrice A, les coefficients ne sont pas rangés a<b<c<d non? Ou peu importe?

ben... ça va être rangé ou pas selon qui c'est que tu appelle "b"....
Et sinon, effectivement, tu t'en fout complètement de savoir qui c'est que tu appelle "b" vu que A est conjugué à D dans GL2(Z) ssi les transposées sont conjuguées (la transposée d'une matrice de GL2(Z), c'est évidement une matrice de GL2(Z))

Moi je voulais (aussi) tenter de transformer A par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes en exploitant les conditions sur a, b, c, et d...(comme ils font ici https://perso.univ-rennes1.fr/romain.ba ... 0v2014.pdf
page 5 par exemple)

Ben essaye et comme ça tu verra que... ça marche pas c'est à dire que les matrice A et D ne sont pas conjuguées.
Par contre, elles sont effectivement "semblables" (au sens donné dans le texte en question), mais je sais pas si ça a bien un quelconque intérêt vu que "semblable", ça implique même pas qu'elles ont la même trace alors que vu le contexte (de l'OIM), c'était quand même plus que pas con de préserver la trace égale à 2^k.

[Lostounet]

Je viens d'essayer avec ton exemple et effectivement... à moins de pouvoir (en particulier) inverser 16 dans Z, c'est mal parti. Euh... tu dis qu'elles sont semblables et pas conjuguées ? On comprend que il existe P dans Q alors comme matrice de passage?

C'est toujours un peu étrange la notion de "corps" sous-jacent à la diagonalisation... si tu as du le vérifier sur un exemple, c'est qu'il n'y a pas vraiment de méthode pour savoir si on peut trouver une matrice conjuguée dans GL(Z)..?

C'est dommage car la piste de l'algèbre linéaire semblait bien trouvée.

[Ben314]

C'est toujours un peu étrange la notion de "corps" sous-jacent à la diagonalisation... si tu as du le vérifier sur un exemple, c'est qu'il n'y a pas vraiment de méthode pour savoir si on peut trouver une matrice conjuguée dans GL(Z)..?

A mon avis, il doit y avoir (au moins un morceau) de théorie, mais... je la connais pas...
Et comme je supputait fort que ça marcherais pas, ben j'ai bêtement commencé par essayer sur un exemple avant d'aller chercher plus loin.

Si je sais pas quoi f... je regarderais en commençant par les matrices 2x2 à coeff. dans Z : ça me fera un casse tête...

C'est dommage car la piste de l'algèbre linéaire semblait bien trouvée.

Oui, mais c'est pas parce qu'on a mis "un coup dans l'eau" qu'il faut désespérer : il y a peut-être d'autres chose à faire que de dire qu'elle est semblable à une matrice diagonale.
Perso., et je l'ai déjà dit, le "Hic" que je vois surtout, c'est que je vois vraiment pas quoi faire de l'hypothèse disant b+c=2^m dans le contexte d'une matrice.

[Lostounet]

En réduisant modulo 2 tous les coefficients (Z/2Z)... on trouve que des 1...
Je me demande s'il existe des résultats en passant au quotient (pour exploiter l'imparité de tout le monde aussi).

[Al-Kashi]

Salut,
Notons d'abord que donc .
D'autre part,



Ainsi,

D'autre part,
Puisque et sont deux nombres impairs alors et sont à la fois divisibles par mais non pas par ou toutes les puissances (car ).
Ainsi, ou .

Si alors donc et
D'où, (ce qui absurde).
Ainsi, on a nécessairement soit donc équivaut à .

Si alors (ce qui est absurde). Ainsi, .
Finalement, .

Maintenant, on utilise la condition :


Puisque est impair alors soit .
Ainsi, .
Les solutions du problème sont:
.

[Ben314]

Je viens d'essayer avec ton exemple et effectivement... à moins de pouvoir (en particulier) inverser 16 dans Z, c'est mal parti. Euh... tu dis qu'elles sont semblables et pas conjuguées ? On comprend que il existe P dans Q alors comme matrice de passage?

Comme tout ce qui est vocabulaire, je me suis toujours mélangé les pinceaux dans ces truc là.
- Ce qui est vrai, c'est qu'il existe P et Q inversible de GL2(Z) telle que A=PDQ
- Ce qui est faux, c'est qu'il existe P inversible de GL2(Z) telle que A=PDP^(-1)

[Ben314]

Donc soit , donc .

Tu t'es pas un peu gourré dans les lettres là ?
Sauf erreur, 2^m=b+c mais 2^k=a+d

[Lostounet]

Ben, y'a-t-il des résultats sur la diagonalisation sur F2 = Z/2Z?

Cela donne une forme assez particulière à A car:
a = -d(mod 2)
b = -c (mod 2)

a = b = c = d = 1(mod 2)