Numérotation d'un dé

par **t.itou29** » 09 Mar 2015, 19:20

Bonsoir,
Je suis tombé hier sur ce problème assez sympa:

On lance deux dés à 6 faces (numérotée de 1 à 6) et on note la somme obtenue, à chaque somme on associe sa probabilité d'apparition. Montrer qu'il est possible de renuméroter les faces des dés avec des entiers positifs (avec répétitions éventuellement) en laissant invariantes les probabilités.

Je ne sais pas s'il est connu mais je le trouve vraiment intéressant :)
Il y avait un indice avec l'énoncé, je le posterai si personne ne trouve (bien que ça m'étonnerait !)

par **nodjim** » 10 Mar 2015, 10:19

On peut, mais il faudra fabriquer des dés pipés.

par **t.itou29** » 10 Mar 2015, 20:22

nodjim a écrit:On peut, mais il faudra fabriquer des dés pipés.

C'est possible sans dés pipés (enfin un nombre va apparaitre sur plus d'une face)
L'indice: considérer la fonction génératrice

par **beagle** » 10 Mar 2015, 21:38

que signifie laisser invariant les probabilités?
On doit avoir mème proba de somme fait 2,3, ou 4, jusqu'à 12 ... qu'initialement??????

par **t.itou29** » 10 Mar 2015, 21:44

beagle a écrit:que signifie laisser invariant les probabilités?
On doit avoir mème proba de somme fait 2,3, ou 4, jusqu'à 12 ... qu'initialement??????

Oui c'est ça

par **beagle** » 10 Mar 2015, 22:10

t.itou29 a écrit:Oui c'est ça

comme par exemple
un dé 0,1,2,3,4,5
l'autre dé 2,3,4,5,6,7
par exemple?

par **t.itou29** » 10 Mar 2015, 22:19

beagle a écrit:comme par exemple
un dé 0,1,2,3,4,5
l'autre dé 2,3,4,5,6,7
par exemple?

Oui ça marche ! J'aurais du précisé avec des entiers strictements positifs c'est plus intéressant ...

par **beagle** » 10 Mar 2015, 22:24

t.itou29 a écrit:Oui ça marche ! J'aurais du précisé avec des entiers strictements positifs c'est plus intéressant ...

ok, je me doute, c'était juste pour savoir.
donc il y a 1 sur un dé et 1 sur l'autre dé.
J'ai le début :we:

à ce rythme pou faire du 3, va falloir mettre du 2 de chaque coté,
je ne le sens pas le changement ...hum!

par **chan79** » 11 Mar 2015, 12:25

salut

avec 1,2,2,3,3,4 et 1,3,4,5,6,8 ça a l'air d'aller

par **t.itou29** » 11 Mar 2015, 21:31

chan79 a écrit:salut

avec 1,2,2,3,3,4 et 1,3,4,5,6,8 ça a l'air d'aller

C'est exactement ça ! Quelle méthode as-tu utilisé ?

par **chan79** » 11 Mar 2015, 21:36

t.itou29 a écrit:C'est exactement ça ! Quelle méthode as-tu utilisé ?

Au flair, j'ai eu de la chance...
Je vais regarder du côté des fonctions génératrices

par **beagle** » 12 Mar 2015, 13:49

En utilisant le changement dans la structure issu de la solution de chan79 pour l'ordre 6,
on peut générer une solution pour les autres ordres pairs.

ainsi deux dés à 8 faces peuvent ètre renumérotés:
dé1: 1,3,5,5,7,7,9,11
dé2: 1,2,2,3,3,4,4,5

je n'ai pas encore vérifié pour n=10, mais j' y crois!

PS: ordre 10 fonctionne, vérifié
premier dé est: 1,3,5,6,7,8,9,10,12,14
deuxième dé trop éclairant , à deviner!

par **beagle** » 13 Mar 2015, 12:09

autre solution en 8 faces:
dé 1 :1,3,3,5,5,7,7,9
dé 2: 1,2,2,3,5,6,6,7

généralisable aux 4k,
ah le potentiel de la double symétrie!!!

par **chan79** » 13 Mar 2015, 17:44

On peut voir du côté des polynômes
On multiplie

Les exposants des deux facteurs de la première ligne sont les numéros inscrits sur les faces.
Les coefficients du produit sont le nombre de fois où une somme d'exposants est atteinte.
Le problème est donc de trouver deux autres polynômes ayant le même produit avec des exposants tous non nuls.
Le mieux est de décomposer

on trouve

on peut écrire

soit

les exposants donnent les numéros à mettre sur les faces: 1,3,4,5,6,8 et 1,2,2,3,3,4

on peut arranger autrement les facteurs mais on aurait des zéros sur certaines faces

NB: geogebra fait le calcul formel; ça m'a aidé :zen:

par **beagle** » 13 Mar 2015, 17:53

C'est comme ça que j'ai fait pour ordre 8 et 10.
Facile!

par **beagle** » 13 Mar 2015, 17:55

beagle a écrit:C'est comme ça que j'ai fait pour ordre 8 et 10.
Facile!

Menteur!
C'est balaise ce truc de polynomes, bravo chan79

par **chan79** » 13 Mar 2015, 18:13

beagle a écrit:Menteur!
C'est balaise ce truc de polynomes, bravo chan79

si l'auteur du post n'avait pas mis l'indice ......???
Une fois qu'on a vu le truc
avec des dés à 12 faces (dodécaèdres si on veut faire le savant ..)
on obtient:

1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8 et 1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16

Pour conserver le produit, on prend les deux polynômes:

et

par **t.itou29** » 13 Mar 2015, 19:22

chan79 a écrit:si l'auteur du post n'avait pas mis l'indice ......???
Une fois qu'on a vu le truc
avec des dés à 12 faces (dodécaèdres si on veut faire le savant ..)
on obtient:

1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8 et 1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16

Pour conserver le produit, on prend les deux polynômes:

et

C'est vrai que sans l'indice faut vraiment y penser ! Même avec l'indice ça m'a pris 1h de philo (pas très passionnante...) pour trouver le bon produit. J'avais pas encore essayé de généraliser mais ça a l'air de bien se faire

N'empêche pour faire savant ça fait bien de sortir une paire de dés numérotées comme ça: "Ne vous inquiétez pas ça change rien !"

par **beagle** » 13 Mar 2015, 19:38

n'empèche que dans ma classification,
la première méthode , celle qui donne solution du 6 ,
donne en ordre 12:
dé 1: 1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17
dé 2: 1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7

je teste ce que j'avais appelé deuxième solution du 8
par acquis de conscience, serait surprenant que cela ne marche pas ,
à tout de suite,
je le fais à la mano, et ordre 12 cela commence à ètre le début du pénible à controler!

par **chan79** » 13 Mar 2015, 19:51

Peut-être bien que dans certains cas, il faut décomposer les polynômes dans

, pour ne pas laisser s'échapper des solutions ?

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