Noyau d'une fonction particulière

[titov]

Soit f une fonction non constante de l'ensemble des matrices réelles carrées de taille n*n dans R

Pour toutes matrices A et B, f(AB)=f(A)f(B).

Déterminer ne noyau de f

[Ben314]

Salut,
Que veut tu dire par "noyau de f" ?
Pour moi, on ne parle de noyau que dans le cas de morphismes de groupes or là, je ne vois pas bien de quels groupes il s'agit (Mn(R) n'est pas un groupe multiplicatif et rien ne dit que f soit un morphisme pour l'addition...)

[titov]

Oui pardon abus de langage, il faut déterminer l'ensemble f^{-1}(0)

[Ben314]

On peut déjà commencer par montrer qu'une matrice inversible ne peut avoir une image nulle, puis que l'image de la matrice identité est 1 puis que, si A est inversible, f(A^-1) = 1 / f(A).
Ça permet de voir que deux matrices semblables ont la même image.

Ensuite, il est possible que toutes les matrices non inversibles aient une image nulle vu que c'est le cas si f est la fonction déterminant. Mais, à froid, je ne sais pas si c'est le seul cas possible.

[Ben314]

En réfléchissant un peu plus, les matrices non inversible ont forcément une image nulle.
Ça peut se montrer en commençant par montrer que :
- Deux matrices équivalentes ont des images "de même type" (i.e. les deux images sont nulles ou bien elles sont toutes les deux non nulles)
- La matrice nulle à une image nulle.