Nouveau Test

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

Nouveau Test

par Will=? » 14 Mai 2010, 13:39

EXERCICE 1:


Soient a et b deux réels tels que a-b=1

Montrez que : a^3-b^3plus grand ou égale 1/4

EXERCICE 2


Déterminez toutes les fonctions f définies sur \mathbb{R}-{0,1} et vérifiant la relation :


f(x)+f(1/1+x)=x


EXERCICE 3:

Soient h (de a) ,h (de b), h (de c) les hauteurs d'un triangle et r le rayon de son cercle inscrit.
Déterminer la nature de ce trianle sachant que :

h (de a) +h (de b)+ h (de c)=9r


EXERCICE 4:

Les points S,T et U appartiennent respactivement aux cotés [AB], [BC] et [CA] d'un triangle ABC et vérifient les relations :

AS/SB=1/2 ; BT/TC=2/3 ; CU/UA=3/1

Montrer comment peut on construire le triangle ABC connaissant les points S,T et U .

Priere de me répondre surtt pour exo 4



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 14 Mai 2010, 16:55

Salut,
Pour l'exo. 1, y'a pas grand chose à faire :
a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)=a²+a(a-1)+(a-1)² [vu que a+b=1]
=3a²-3a+1=3(a-1/2)²+1/4

Pour l'exo 2, j'ai deux soucis :
- C'est R privé de 0 et -1 ou privé de 0 et 1 ?
- La formule c'est f(x)+f(1/(1+x))=x ou bien, comme tu l'écrit, c'est f(x)+f(1+x)=x ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 14 Mai 2010, 17:19

Pour le 1, j'ai a^3-b^3 = (a-b)((a-b)²/4 + 3(a+b)²/4) >= 1/4 quand on remplace (a-b) par 1.

Pour le 2, l'énoncé est douteux.

Pour le 4, on peut tout écrire en terme de vecteurs, et manipuler tout ça pour obtenir A,B,C comme barycentres de S,T,U

Je trouve
A = bar(U,16)(T,-10)(S,-9)
B = bar(U,-8)(T,5)(S,18)
C = bar(U,4)(T,10)(S,9)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 14 Mai 2010, 18:21

Pour l'exo 3,
En coupant le triangle (de cotés a,b,c) en trois sous triangles de sommet commun le centre du cercle inscrit (de rayon r) , on voit que la surface S du triangle est :
d'où
puis , et
donc la relation équivaut à
soit encore à en posant et .
Or, pour tout réel , avec égalité ssi donc,
avec égalité ssi
avec égalité ssi
avec égalité ssi
Ce qui montre que la relation n'est réalisable que lorsque , c'est à dire

Par contre, l'exo 2 est totalement incohérent : on peut prendre n'importe quoi comme fonction sur [0,1[ puis compléter pour avoir f(x)+f(1+x)=1
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 14 Mai 2010, 18:33

Pour l'exo 4, si la "construction" demandée est analytique, on peut procéder comme le dit Doraki.
Si la construction demandée est géométrique, on peut procéder comme suit :
On note hS, hT, hU les homothéties de centre respectifs S,T,U et de rapport respectifs -2, -3/2 et -1/3.
Par hypothèse, on a donc hS(A)=B, hT(B)=C et hU(C)=A ce qui signifie que A est un point fixe de f = hU o hT o hS.
Or f est la composée de 3 homothéties donc est une homothétie de rapport -2.-3/2.-1/3=-1, c'est à dire une symétrie centrale.
Conclusion, pour construire A, on part d'un point quelconque M (par exemple S ou T ou U) puis on construit M' = hU o hT o hS (M) et le point A est évidement le milieu de [MM']
On construit ensuite B=hS(A) puis C=hT(B).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 14 Mai 2010, 18:56

Je viens tout juste de sortir des olympiades et j'ai pas mal géré ( 3 exercices sur 4 ) ^^

Exercice 1 : très easy, ils abusent quand même ...

L'exercice 2 est faux, c'est 1-x à la place de 1+x . Avec trois changement de variables on y arrive aisément ( poser a=1/(1-x) , b=1/(1-a) et c=1/(1-b)=x , avec a;b;c dans R-{0;1} ) .

L'exercice 3 marche en remarquant que ce qui est demandé est équivalent à (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)=9 et en déduire que a=b=c . On peut dire "c'est le cas d'égalité de C.S", ou alors si on veut rien risquer, on développe tout, puis on aura .
Ce qui est équivalent à :

ET ET .

Et on conclut .

L'exo 4 j'avais pensé à Ceva comme les céviennes se coupent, mais pas d'idées ensuite donc j'ai laissé tombé .

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 14 Mai 2010, 19:19

La solution complète que j'ai donné à l'exo 3 ( un peu le même principe que celui de BenPi, à savoir étudier le cas d'égalité d'une inégalité ) :

On note la surface de notre triangle, et les longueurs de ses côtés .





.

Là, soit C.S est admis et on s'arrête là en disant que c'est le cas d'égalité de atteint pour .

Soit on veut rien risquer et on continue en développant tout et en réécrivant sous forme de somme de carrés :



Et on conclut comme dit dans mon message précédent .

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 14 Mai 2010, 20:10

Moi aussi
J'ai fait les 3 premierss
pour exo 2 oui c'est 1-x

Pour le quatrieme je n'ai pas réussiii à le faireee (ceva,,, mais rien,)
Sinn Comments les eleves de votre lycee ont passé ce test??

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 14 Mai 2010, 20:16

Will=? a écrit:Sinn Comments les eleves de votre lycee ont passé ce test??


Trop mal apparemment, je vais majorer je pense :we:

Pour l'exo 2, on trouve : .

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 14 Mai 2010, 20:34

Olympus a écrit:Trop mal apparemment, je vais majorer je pense :we:

Pour l'exo 2, on trouve : .


Je crois que Tu as oublié +1

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 14 Mai 2010, 20:37

Dsl je me suis trompéé :mur:

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 14 Mai 2010, 23:29

Will=? a écrit:Je crois que Tu as oublié +1


Je ne pense pas, j'ai vérifié et c'est correct . D'ailleurs, d'après l'énoncé, il ne peut pas y avoir de constante ;-)

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 14 Mai 2010, 23:52

J'ai voulu dire f(x)=1/2(x+1-1/x+1/(x-1))
(Tu as oublié un +1)

PS: j'ai fait la meme methode que toi (pour l'exercice 2 et 3)^^

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 15 Mai 2010, 00:25

C'est ce que j'ai dit, impossible qu'il y ait une constante ^^ ( 1/2 dans ton cas )

C'est bien .

Si on veut vérifier :



et



En sommant, on obtient bel et bien .

Mais si on met ton +1, on aura x+1 au final et pas x .

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 15 Mai 2010, 11:06

[quote="Olympus"]C'est ce que j'ai dit, impossible qu'il y ait une constante ^^ ( 1/2 dans ton cas )

C'est bien .


Bonjour
On a les meme réponse lol (je n'ai pas fait attetion) parce que =
Vue que[/TEX]

@+

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 15 Mai 2010, 12:06

@Will=? : En effet, c'est la même fonction, pas vu aussi ^^

Dommage que quasi personne a réussi l'exercice de géo ( en tout cas, personne de notre lycée ) ...

Faut que je bosse la géo cet été si je veux espérer participer aux OIM l'année prochaine, mais j'arrive toujours pas à avoir l'intuition, je suis un vrai cas quoi :cry:

Par contre je suis un petit peu intéressé par l'approche analytique ( barycentres/vecteurs/produit scalaire ) comme celle qu'a utilisé Doraki, quelqu'un n'aurait pas de documents traitant de ces approches dans les exercices de géométrie d'olympiades ?

Merci !

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 15 Mai 2010, 12:31

:)
Moi aussi la geometrie me pose un grand probleme (C'est normal parce que je ne l'ai jamais travaillé :bad: ))
J'espere Etre qualifiéééé
PS:je veux bien savoir s'il y a quelqu'un qui a réussi à faire 7 ou 6 exercices dans les deux test :)

Avatar de l’utilisateur
Olympus
Modérateur
Messages: 1668
Enregistré le: 12 Mai 2009, 13:00

par Olympus » 15 Mai 2010, 13:12

6/8 dans les deux tests pour ma part, et toi ?

Will=?
Membre Naturel
Messages: 11
Enregistré le: 07 Juil 2009, 00:28

par Will=? » 15 Mai 2010, 13:34

Bonjour
Moi 5/8
(Bonne chance ),Et pour les autres (vos camarades,,)?

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 15 Mai 2010, 13:53

Ben, si je reprends AS/SB=1/2 ; BT/TC=2/3 ; CU/UA=3/1,
d'abord on enlève les divisions parceque les divisions c'est le mal,

on a en vecteurs 2AS = SB ; 3BT = 2TC ; CU = 3UA,
soit 2SA+SB = 3TB+2TC = UC+3UA = 0 : on a S,T, et U en fonction de A,B,C (comme barycentres).
Le calcul consiste à inverser ça pour avoir A,B,C en fonction de S,T,U.
Et on fait ça exactement comme on résout un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.

Soit M un point du plan absolument quelconque.
Je note a = MA, b = MB, c = MC, s = MS, t = MT, u = MU (toujours des vecteurs).
Les relations données s'écrivent simplement :
3s = 2a+b
5t = 3b+2c
4u = 3a+c

Y'a plus qu'à retourner le système pour avoir a,b,c en fonction de s,t,u.

Note que la somme des coeffs de chaque coté des égalités est la même,
c'est parceque tout ça est indépendant du choix de M.
Si à un moment dans tes calculs t'as pas les coefficients qui se compensent,
c'est que tu t'es gourré quelquepart.

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 6 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite