Nombres premiers

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Nombres premiers

par aviateur » 26 Oct 2017, 08:19

Bonjour

Y-a-t-il une infinité de nombres premiers congrus à 2 modulo 3.?



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Ben314
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Re: Nombres premiers

par Ben314 » 26 Oct 2017, 08:42

Salut,
De façon bien plus générale (et plus précise), tu as le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet qui, si a et b sont premiers entre eux, te dit non seulement qu'il y a une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b, mais même qu'asymptotiquement, il y a autant de nombre premier dans chacune des classes modulo b.

Donc dans ton cas, ça te dit que si tu compte la proportion de nombre premiers entre 1 et N qui sont congru à 2 modulo3, alors quand N->oo, cette proportion tend vers 1/2 (vu qu'à part 3, tout les nombres premiers sont congrus à 1 ou 2 modulo 3).

Après, la preuve est pas archi. compliqué, mais elle est longue et demande quand même un petit bagage.
Dans des cas archi simple comme le tien, il y a sans doute moyen de faire plus simple (parmi les "grand classiques" quand on débute l'arithmétique, il y a le fait de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers congru à 1 modulo 4 et aussi une infinité congru à 3 modulo 4)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

aviateur
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Re: Nombres premiers

par aviateur » 26 Oct 2017, 10:53

Bonjour, non je ne connais pas ce théorème et ta réponse est donc intéressante. Mais l'énigme reste d'actualité, c'est à dire que l'on attend une preuve élémentaire (i.e avec les outils de terminale à math spé).

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Ben314
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Re: Nombres premiers

par Ben314 » 27 Oct 2017, 16:10

L'entier n'a que des facteurs premiers et ils ne peuvent être tous congrus à 1 modulo 3 sans quoi N serait lui même congru à 1 modulo 3, ce qui est faux.
Donc il existe des premiers congru à 2 modulo 3 aussi grand qu'on veut.
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Re: Nombres premiers

par aviateur » 27 Oct 2017, 16:35

Bonjour,
Oui c'est bien, je trouve cette solution particulièrement simple!

nodgim
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Re: Nombres premiers

par nodgim » 27 Oct 2017, 17:07

Parce que comme N vaut -1 mod 3, N admet dans sa décomposition un nombre impair de facteurs premiers -1 mod 3 (cela va sans dire mais c'est mieux en le disant).

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Re: Nombres premiers

par Lostounet » 27 Oct 2017, 18:02

Ben314 a écrit:L'entier n'a que des facteurs premiers et ils ne peuvent être tous congrus à 1 modulo 3 sans quoi N serait lui même congru à 1 modulo 3, ce qui est faux.
Donc il existe des premiers congru à 2 modulo 3 aussi grand qu'on veut.


Très joli!!
Un peu dans le même esprit que la preuve d'Euclide
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