Nombres premiers

par **_Telemaque_** » 28 Nov 2010, 23:59

C'est une question toute bête que je me pose et dont je n'ai toujours pas de réponse :

Jusqu'où trouve t-on des nombres premiers ? Y a t-il un moment à partir duquel il n'y en a plus ? Existe t-il une fonction par laquelle on peut trouver chacun de ceux-ci ?

par **Ben314** » 29 Nov 2010, 00:15

Salut,
On sait au moins depuis les grecs (avant jésus christ) qu'il y a une infinité de nombre premiers :
Si tu prend une liste finie de nombres premiers, que tu fait le produit de tous et que tu rajoute 1, il est façile de voir que ce nombre ne se divise par aucun des nombres premiers de ta liste.
Or comme tout nombre entier, ton nombre se décomopose en produit de nombres premiers et ces nombres premiers te permettent systématiquement d'allonger la liste de départ.

Concernant une fonction donnant la liste des nombres premiers, la réponse est évidement oui : il suffit de considérer la fonction qui, à un entier n>=1 associe le n-ième nombre premier !!!!

Par contre, si tu reformule ta question sous la forme "existe une fonction que l'on peut calculer simplement en faisant juste 4 ou 5 additions/multiplication/puissances ?" alors la réponse est non.

par **Sve@r** » 09 Déc 2010, 20:29

_Telemaque_ a écrit:Jusqu'où trouve t-on des nombres premiers ? Y a t-il un moment à partir duquel il n'y en a plus ?

Salut

Quel que soit le nombre "n" que tu choisisses, tu auras toujours au-moins un nombre premier situé entre "n" et "2n" => ils sont donc en nombre infini

_Telemaque_ a écrit:Existe t-il une fonction par laquelle on peut trouver chacun de ceux-ci ?

Cette fonction est une des plus recherchées par les mathématiciens. Et même si on ne peut pas affirmer que ce n'est pas possible, elle n'a encore jamais été trouvée.

Cependant il y a une méthode très simple pour trouver les nombres premiers entre 2 et n, quel que soit ce n
Tu notes tous les nombres possibles de 2 jusqu'à n.
Tu prends le premier chiffre non barré (le 2 donc) et tu barres tous les multiples de 2 à partir de 2² (donc à partir de 4)
Puis tu prends le premier chiffre suivant non barré (le 3 donc) et tu barres tous les multiples de 3 à partir de 3² (donc à partir de 9)
Puis tu prends le suivant (le 5) et tu fais de même à partir de 25 et etc etc etc
Quand le premier nombre non barré est égal à la racine carrée du dernier nombre de ta liste, tu peux t'arrêter. Tous les nombres non barrés sont alors des nombres premiers (crible d'Erastothène)

par **Nightmare** » 09 Déc 2010, 20:36

Sve@r a écrit:Salut

Quel que soit le nombre "n" que tu choisisses, tu auras toujours au-moins un nombre premier situé entre "n" et "2n" => ils sont donc en nombre infini

J'espère que c'est une blague :lol3:

par **Sve@r** » 09 Déc 2010, 21:01

Nightmare a écrit:J'espère que c'est une blague :lol3:

Euh, c'est ce que j'ai compris du postulat de Bertrand qui dit qu'il existe toujours un nombre premier p tel que n < p <= 2n http://www.rinnovamento.it/p/po/postulat_de_bertrand.html...

par **Nightmare** » 09 Déc 2010, 21:05

L'affirmation est correcte, c'est juste que la difficulté de sa démonstration et de sa compréhension est très largement supérieure à celle de l'infinité des nombres premiers.

Comme l'a dit Ben, on sait qu'il y a une infinité de nombre premiers depuis les grecs anciens, on sait qu'il y en a au moins un entre n et 2n depuis un peu plus d'une centaine d'année...

Pourquoi ne pas dire aussi qu'on sait qu'il y a une infinité de nombre premiers de la forme an+b lorsque a et b sont premiers entre eux. Conclusion : Il y a une infinité de nombre premiers...

En clair, pour expliquer à un novice en arithmétique qu'il y a une infinité de nombre premiers, je crois pas que lui citer un théorème très difficile à démontrer et loin d'être intuitif soit le plus pédagogique !

:lol3:

par **Sve@r** » 09 Déc 2010, 22:04

Nightmare a écrit:En clair, pour expliquer à un novice en arithmétique qu'il y a une infinité de nombre premiers, je crois pas que lui citer un théorème très difficile à démontrer et loin d'être intuitif soit le plus pédagogique !:lol3:

Ah je comprends. T'as pas mis en doute mon affirmation mais juste son utilité ici.

Ok, pas de pb. C'est peut-être pas la plus appropriée.

par **Nightmare** » 09 Déc 2010, 22:13

Je pensais bien qu'on s'était mal compris :happy3:

par **Ben314** » 10 Déc 2010, 16:57

Sve@r a écrit:Cette fonction est une des plus recherchées par les mathématiciens. Et même si on ne peut pas affirmer que ce n'est pas possible, elle n'a encore jamais été trouvée.

Dans ce cas, je vient donc de faire une grande découverte : La fonction qui à n associe le n-ième nombre premier s'appelera donc dorénavant la "fonction de Ben314"... :ptdr:

par **benekire2** » 10 Déc 2010, 18:29

Ben314 a écrit:Dans ce cas, je vient donc de faire une grande découverte : La fonction qui à n associe le n-ième nombre premier s'appelera donc dorénavant la "fonction de Ben314"... :ptdr:

Boh , je suis déçu par Svear , il a lu l'exo que Ben a posé dans le topic (Bertrand) que j'avais fais sur cette formule précisément ( le n-ième nombre premier ) et il a pas lu l'énoncé initial :cry:

par **_Telemaque_** » 11 Déc 2010, 00:18

Si j'ai tout compris sur ce sujet, si dans un contrôle je cherche un nombre premier trop élevé, je suis dans la merde ! Ta technique (Svear) est efficace dans le sens où elle marche mais elle me paraît longue à exécuter. Quant au théorème de Ben 314, j'attends impatiemment que tu nous trouves une formule avec des calculs "simples" pour trouver les nombres premiers =D

par **Ben314** » 11 Déc 2010, 00:31

_Telemaque_ a écrit:Si j'ai tout compris sur ce sujet, si dans un contrôle je cherche un nombre premier trop élevé, je suis dans la merde ! Ta technique (Svear) est efficace dans le sens où elle marche mais elle me paraît longue à exécuter. Quant au théorème de Ben 314, j'attends impatiemment que tu nous trouves une formule avec des calculs "simples" pour trouver les nombres premiers =D

Justement, des formules "simples", on en connait pas aujourdh'ui (et je conjecturerais assez fort qu'on en connaitra jamais), mais ça n'empèche absolument pas de parler de la fonction qui à n associe le n-ième nombre premier.

Par exemple, connait tu une "formule simple" permettant de savoir combien vaut la racine carrée d'un nombre réel ? (*)
Je pense que non, mais ça ne t'empèche absolument d'utiliser la fonction "racine carrée" et de montrer qu'elle a certaines propriétés.

P.S. : Pour la question (*), tu peut me répondre : "j'men fout, j'ai une touche sur la machine à calculer" dans ce cas, je te rétorquerais qu'il est tout à fait possible d'avoir une touche sur une machine qui corresponde à la fonction n->pn (n-ième nombre premier).
Bien sur, la touche n'accepterait sans doute comme valeur de n que des valeurs "pas trop grandes", mais d'un autre coté, la touche "racine carrée", bien qu'acceptant toute les valeurs ne donne pas une trés grande précision sur la valeur de racine(x) : seulement une dixaine de chiffres.

par **nodjim** » 11 Déc 2010, 12:24

Il existe tout de même une formule à 26 variables telle que ses résultats positifs sont tous les nombres premiers!

par **_Telemaque_** » 11 Déc 2010, 12:26

Le théorème de Nodjim ? Dis-nous en plus, ca m'intéresse =D

par **nodjim** » 11 Déc 2010, 12:56

Bon, d'accord:
[1-(wz+h+j-q)²-((gk+2g+k+1)(h+j)+h-z)²-(2n+p+q+z-e)²-(16(k+1)^3(k+2)(n+1)²+1-f²)²-(e^3(e+2)(a+1)²+1-o²)²-((a²-1)y²+1-x²)²-(16r²y^4(a²-1)+1-u²)²-(((a+u²(u²-a))²-1)(n+4dy)²+1-(x+cu)²)²-(n+l+v-y)²-((a²-1)l²+1-m²)²-(ai+k+1-l-i)²-(p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n²-2n-2)-m)²-(q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p²-2p-2)-x)²-(z+pl(a-p)+t(2ap-p²-1)-pm)²] [k+2].
Je l'ai recopiée telle quelle dans le livre de JP Delahaye "Merveilleux nombres premiers". Les 26 variables ne prennent que des valeurs entières positives.
Cette formule est un produit. Or, elle est censée donner les nombres premiers... Il faut donc admettre que le 1er facteur ne donne comme valeur positive que le 1.

par **_Telemaque_** » 11 Déc 2010, 13:05

C'est qui le mec qui a trouvé cette formule... Y en a qui n'ont que ça à foutre... Y a t-il besoin d'un rapport spécial entre les lettres ? Hors-mis qu'ils sont entiers. Je pourrais très bien rentrer cette formule dans ma calculatrice et m'en servir ! Il me suffirait de rentrer les valeurs et elle me ferait la liste exacte des nombres premiers. J'ai aussi trouvé ca bizarre que on se retrouve à la toute fin avec un produit --'. Un nombre premier, est, par définition, un chiffre qu'on ne trouve pas en faisant le produit de 2 entiers. Il faudrait la tester cette formule, même ben ne la connaissait pas, c'est pour dire !
On ne peut pas la simplifier cette formule ? Si on développe tous les produits et les exposants, on devrait trouver un truc qui fait moins de 4 lignes de calculs imprononçables.

par **nodjim** » 11 Déc 2010, 13:15

Il faut simplement admettre que la seule valeur positive du 1er facteur est 1.
Matiiassevitch en avait démontré son existence, et un groupe de 4 matheux l'a construite en 1976.

Matiassevitch avait démontré cette chose extraordinaire:
"A tout ensemble de nb entiers dont les éléments peuvent être énumérés par un programme, correspond une fonction polynome à plusieurs variables dont les valeurs positives obtenues pour les valeurs positives de ses variables constituent exactement les éléments de cet ensemble".

par **_Telemaque_** » 11 Déc 2010, 13:22

J'ai beaucoup de mal à comprendre... Si j'ai tout saisi, ca veut dire, que pour un ensemble quelconque de nombres entiers, il existe une fonction à plusieurs nombre qui définie un lien entre chacune des variables de l'ensemble de nombres entiers ?! Ca m'a pas l'air si compliqué à trouver, à tel point que je suis sûr de ne pas avoir compris ! Attendre 1976 pour déclarer ceci, ca me paraît osé.

Ca voudrait dire, qu'il existe forcément une formule qui relie les nombres premiers ? Et que par conséquent, Ben314 se serait trompé :O

par **Doraki** » 11 Déc 2010, 13:22

_Telemaque_ a écrit:Il me suffirait de rentrer les valeurs et elle me ferait la liste exacte des nombres premiers.

Vu que c'est de la forme (1-somme de carrés)*(k+2), pour obtenir une valeur positive, il faut que tous les carrés soient nuls en même temps.
Et vu que la nullité de ces 14 termes codent (je sais pas trop comment) que (k+2) doit être premier, ben il faut avoir bien de la chance pour choisir les 25 autres variables comme il faut pour qu'ils satisfassent les 14 équations, pour obtenir le certificat que (k+2) est premier.
En rentrant des valeurs au hasard dans ta calculatrice, je pense que même si tu le faisais pendant toute ta vie il est très improbable que tu tombes sur un résultat positif ne serait-ce qu'une seule fois.

par **_Telemaque_** » 11 Déc 2010, 13:26

Relis bien la formule et tu t'apercevras qu'il y a aussi des exposants 3 et que par conséquent, il reste possible que le premier membre soit positif. Il est bien dit que ce sont toutes les valeurs POSITIVES qui sont des nombres premiers. De plus, à chaque fois, on soustrait les carrés et que comme un carré est toujours positif, n² - x² si x0.

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