Nombres de la forme 2^n-3 et pgcd

par **lapras** » 30 Déc 2008, 19:51

Bonsoir,
Pas compliqué, mais marrant :
Montrer qu'il existe une suite infiniment grande d'entiers de la forme

tels que le pgcd de deux de ses membres soit toujours égal à 1.

Lapras :we:

par **guigui51250** » 31 Déc 2008, 11:57

salut,

là j'ai pas trop le temps mais dès que je suis libre j'essaye ^^ comme tu as dit qu'elle n'était pas très compliqué je vais peut-être réussir lol

bonne journée

par **ThSQ** » 31 Déc 2008, 12:21

Pas compliqué ? Bon, je suis passé à côté de l'astuce alors (je préfère pas dire combien de temps j'ai passé dessus plutôt que de faire mes DM

)

Je pars de u_1 = f(1) = 1

Ayant construit

je construis

par :

\displaystyle

par **ThSQ** » 31 Déc 2008, 12:29

Pas compliqué ? Bon, je suis passé à côté de l'astuce alors (et je préfère pas dire combien de temps j'ai passé dessus plutôt que de faire mes DM

)

Je pars de

(n'importe quelle valeur de la forme

fait l'affaire)

Ayant construit

je construis

par :

(

= indicatrice d'Euler)

Pourquoi ça marche ?

alors d'après Euler

(on peut se passer de Euler mais Euler donne une formule explicite zoulie) et

pour un certain A et donc est premier avec

.

Les premiers termes sont : 1,5,13,1021,

par **lapras** » 31 Déc 2008, 12:37

Exact !
Quand je disais pas compliqué c'est parce que avec l'infinité des nombres premiers on a l'habitude de considérer le produit des éléments... (voir mon post sur le polynome congru à 0 mod p).
Autre possibilité :
considérons l'ensemble des

divisant les

.
notons

fermat =>

or

d'où le résultat.

par **ThSQ** » 31 Déc 2008, 12:58

lapras a écrit:Quand je disais pas compliqué

Mmm, parmi les suggestions pour notre Forum préféré il faudrait peut-être faire une section (style "Olympiades faciles") avec des exos réellement pas compliqués.

par **lapras** » 31 Déc 2008, 13:01

Oui ! Je vais demande à Anima.
donc on aurait 3 catégories :
facile
moyen
difficile
je pense que celui ci irait dans moyen car d'un coté la solution est tres courte, ne demande pas non plus de grosse astuce (juste un peu de recherche) mais évidement la réponse n'est pas triviale.

par **ThSQ** » 31 Déc 2008, 13:19

Je ne sais pas d'où sort cet exo (olympiade nationale peut-être ?) mais on ne va pas mettre dans la section difficile que les exos n°6 de l'OIM !

Pour moi : exo d'olympiade nationale récente (et IMO oeuf corse) => difficile

par **lapras** » 31 Déc 2008, 13:35

Il sort d'un pdf... Je sais pas si c'est un exo d'olympiades.
Y'a pas d'olympiade nationale en france (olympiades académique mais bon j'ai vu un peu les sujets c'est pas tres difficile).
Bien sur on ne va pas mettre que des OIM 6 ou 3 dans difficile mais tout ce qu'on juge difficile !
Cependant pour cet exo : tu penses vraiment qu'il mérite d'être dans difficile ?

par **guigui51250** » 31 Déc 2008, 15:10

il devrait plutot y avoir une partie Olympiade et une partie Pré-Olympiades non? comme ça il y aurait une partie pour les débutants et une autre pour ceux qui sont plus à l'aise.
Et cet exo peut-être pas dans la partie difficile mais si c'est pas dans la partie difficile il faudrait bien expliquer pour que les débutants comprennent ^^

par **ThSQ** » 31 Déc 2008, 16:59

lapras a écrit:Y'a pas d'olympiade nationale en france

Y'a pas que la France dans le monde.

par **Billball** » 31 Déc 2008, 17:07

guigui51250 a écrit:il devrait plutot y avoir une partie Olympiade et une partie Pré-Olympiades non? comme ça il y aurait une partie pour les débutants et une autre pour ceux qui sont plus à l'aise.
Et cet exo peut-être pas dans la partie difficile mais si c'est pas dans la partie difficile il faudrait bien expliquer pour que les débutants comprennent ^^

euh ouais jsuis d'accord avec toi :hein:

par **guigui51250** » 31 Déc 2008, 17:54

pas d'olympiades nationales mais des olympiades académiques (certes c'est pas le même niveau que les OIM...)

Nombres de la forme 2^n-3 et pgcd

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