Nombre pair de triangles

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Nombre pair de triangles

par Imod » 28 Nov 2010, 11:51

Un petit problème qui traîne dans mes tiroirs depuis quelques temps :

On construit un rectangle ( pavage ) avec des triangles rectangles tous identiques de côtés 1 , 2 , R(5) : montrer que le nombre de triangles utilisés est pair .

Imod



beagle
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par beagle » 28 Nov 2010, 12:08

sommes des angles dans tout le rectangle = multiple impair de 18O, = multiple de 360 + 180,
au lieu de multiple de 360 attendu.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Doraki
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par Doraki » 28 Nov 2010, 12:09

Il peut pas y avoir des sommets sur les bords du rectangle ?

ffpower
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par ffpower » 28 Nov 2010, 12:10

Ouais mais 4*90=360..Donc ça m'a l'air pas mal..

beagle
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par beagle » 28 Nov 2010, 12:12

Doraki a écrit:Il peut pas y avoir des sommets sur les bords du rectangle ?


si zut, alors faut plus que deux lignes d'explication, mince,
alors c'est comme une énigme finalement.
Je retourne faire les fractions avec ma gosse,...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

ffpower
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par ffpower » 28 Nov 2010, 12:13

C'est vrai que c'est louche de montrer que dans tout pavage d'un quadrilatere en triangles y'a un nb impair de triangles :we:

beagle
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par beagle » 28 Nov 2010, 13:13

Peut-on cerner le problème, et l'enfermer dans une enceinte multi nombre double de triangles dont le total attendu soit multiple de 360?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

ffpower
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par ffpower » 28 Nov 2010, 14:14

Je ne pense pas qu'on puisse se ramener à ça en changeant la figure, mais c'est bien possible qu'on puisse directement prouver qu'il y a un nombre pair de sommets touchant les cotés du rectangle.

Moi je me demande si les seuls pavages possible ne sont pas à base de rectangles 1*2 ( c'est l'impression que j'ai en faisant quelques dessins, même si ça a l'air chiant à justifier ( mais pas forcément infaisable ) ). Quelqu'un aurait il un contrexemple à cette assertion ?

beagle
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par beagle » 28 Nov 2010, 14:40

Soit a le nombre de segments d'une des longueurs, et b le nombre de segment d'une des largeurs,
je peux entourer le rectangle de 2a + 2b triangles de 180 + les 4 angles droits du rectangle,
cela forme une structure polygonale à kx360.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Imod
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par Imod » 28 Nov 2010, 14:58

Un résultat que l'on peut comparer au théorème de Monsky dont je ne connais pas de démonstration élémentaire . Le problème avec les triangles rectangles de côtés 1 , 2 , R(5) a été proposé en olympiades , il admet donc certainement une solution simple .

Imod

Galax
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par Galax » 28 Nov 2010, 16:46

ffpower a écrit:Moi je me demande si les seuls pavages possible ne sont pas à base de rectangles 1*2 ( c'est l'impression que j'ai en faisant quelques dessins, même si ça a l'air chiant à justifier ( mais pas forcément infaisable ) ). Quelqu'un aurait il un contrexemple à cette assertion ?

Oui
tu peux paver un carré de cotés 2.rac(5) en mettant le long de chaque coté les hypothénuses de 2 triangles qui "se suivent"

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 17:14

Bon, je pose ma "question à la con" :
Peut on admettre que les cotés de longueur 1 et 2 de tout des triangles utilisés sont sur un quadrillage carré ou faut il le démontrer ?

Si oui, j'ai l'impression qu'on s'en sort assez bien en faisant un coloriage Noir/Blanc du quadrillage : chaque triangle sera 3/4 Noir + 1/4 Blanc ou le contraire or...
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Galax
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par Galax » 28 Nov 2010, 17:35

Ben314 a écrit:Bon, je pose ma "question à la con" :
Peut on admettre que les cotés de longueur 1 et 2 de tout des triangles utilisés sont sur un quadrillage carré ou faut il le démontrer ?

Si oui, j'ai l'impression qu'on s'en sort assez bien en faisant un coloriage Noir/Blanc du quadrillage : chaque triangle sera 3/4 Noir + 1/4 Blanc ou le contraire or...


Ta conclusion marche aussi si le rectangle n'est pas sur ce quadrillage carré ?

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 17:40

Galax a écrit:Ta conclusion marche aussi si le rectangle n'est pas sur ce quadrillage carré ?
OUI (en admettant que les cotés de longueur 1 et 2 de tout des triangles utilisés sont sur un quadrillage carré) :

Si les bords du rectangle sont sur le quadrillage, il est de taille AxB (entiers) et le nombre de triangle utilisés est donc AB. Si on en a X de type 3/4 Noir, il y en en a AB-X de type 1/4 Noir donc la surface totale Noire est (3X+AB-X)/4=(2X+AB)/4 qui doit évidement être entier donc AB est pair.

Si les bords du rectangle sont "en biais" par rapport au quadrillage, il est de taille (avec A,B entiers) et le nombre de triangle utilisés est donc 5AB. Si on en a X de type 3/4 Noir, il y en en a 5AB-X de type 1/4 Noir donc la surface totale Noire est (3X+5AB-X)/4=(2X+5AB)/4 qui doit être entier (*) donc AB est pair.

(*) Faire un carré "en biais" de taille sur un quadrillage colorié Noir/Blanc et constater que les surfaces Noire/Blanches ont des aires respectives de 3 carreaux et 2 carreaux.
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nodjim
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par nodjim » 28 Nov 2010, 18:31

Je pense aussi qu'on y arrive par récurrence. Si les cotés du rectangle sont entiers, alors tous les triangles de la bordure présentent leur coté entier sur la bordure. Et de là on déduit des choses pour remplir les coins, et par récurrence, tout le pavé.
Je n'ai pas encore regardé si le rectangle est un multiple de rac5, ça doit faire pareil.

Imod
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par Imod » 28 Nov 2010, 18:32

Super malin le coup du coloriage :++:

En effet , quelle que soit la position du triangle il y a 1/4 d'une couleur et 3/4 de l'autre il suffit alors d'écrire les équations et regarder la parité pour conclure.

Très jolie solution :we:

Imod

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par _Telemaque_ » 28 Nov 2010, 22:52

On peut pas tout simplement dire que l'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié de l'aire d'un rectangle et que par conséquent, l'aire du rectangle sera 2, 4, 6, 8... fois plus grande que celle d'un des triangles ? Perso, c'est ce que je ferais....

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 23:04

_Telemaque_ a écrit:On peut pas tout simplement dire que l'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié de l'aire d'un rectangle et que par conséquent, l'aire du rectangle sera 2, 4, 6, 8... fois plus grande que celle d'un des triangles ? Perso, c'est ce que je ferais....
Je comprend absolument pas ton raisonnement : quel lien y a t'il entre le fait que "l'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié de l'aire du rectangle qui lui correspond" (ici la moitié de l'aire du rectangle de 1x2, donc l'aire du triangle vaut 1) et le fait que l'on ne puisse par exemple pas faire un rectangle de taille 11.racine(5) par 13.racine(5) avec des triangles rectangles de taille 1x2 ???
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_Telemaque_
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par _Telemaque_ » 28 Nov 2010, 23:08

Bah ca veut dire que si tu veux faire un rectangle, t'es obligé de les utiliser par deux ! Sinon, t'es obligé d'en couper un ou deux histoire que ça tienne. Je ferai du bricolage avec mes ciseaux demain en cours de français car ca m'intrigue tout ça !

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 23:17

_Telemaque_ a écrit:Bah ca veut dire que si tu veux faire un rectangle, t'es obligé de les utiliser par deux ! Sinon, t'es obligé d'en couper un ou deux histoire que ça tienne. Je ferais du bricolage avec mes ciseaux demain en cours de français car ca m'intrigue tout ça !
Par exemple, tu essayera de me montrer dans le cas du rectangle 11.racine(5) par 13.racine(5) comment tu fait tes "associations par deux"...
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