Nombre mystère
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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nodjim
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par nodjim » 19 Jan 2011, 20:29
Bonsoir à tous
Soit f(N)="Nombre de 0" "0" "Nb de 1" "1"....."Nb de 9" "9". avec "Nb de..." non nul. fonction qui donc transforme un nombre entier N en un autre nombre qui compte les chiffres qui le compose.
Par exemple f(31)=f(13)=1113
Quel est le plus grand N tel que f(N)=N ?
Bon amusement
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fatal_error
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par fatal_error » 19 Jan 2011, 21:00
salut,
déjà ya sun nombre de zéro qui est nul dnas tes exemples.
Sinon, si on prend le nombre
1111.....23456789
alors f(1111.....23456789) = n1213141516171819
or plus au met de 1 et plus le nombre obtenu par f est grand.
Donc il existe pas de N tel que f(N) soit maximum.
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scelerat
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par scelerat » 20 Jan 2011, 11:43
Je ne vois qu'un seul chiffre, donc 22.
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Patastronch
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par Patastronch » 20 Jan 2011, 12:13
111111 222 33 4 5 66 7 8 9
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Patastronch
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par Patastronch » 20 Jan 2011, 12:18
Zut j'ai oublié le 0 ...
On est sur qu'il peut y a avoir qu'un seul 0 au max du coup je tente :
0 1111111 222 33 4 5 6 77 8 9
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scelerat
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par scelerat » 20 Jan 2011, 12:35
Patastronch a écrit:Zut j'ai oublié le 0 ...
On est sur qu'il peut y a avoir qu'un seul 0 au max du coup je tente :
0 1111111 222 33 4 5 6 77 8 9
Ben d'après l'exemple aimablement fourni avec la question, alors 98776543322211111110 qui a le même f(N) devrait aussi vérifier f(N) = N...
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nodjim
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par nodjim » 20 Jan 2011, 19:33
Aucun des nombres proposés ne répond à la question posée. Il faut remarquer que ce nombre doit d'abord compter les zéros, puis les 1, puis...
Sauf 22 qui répond bien au critère demandé, mais ce n'est pas le plus grand, c'est le plus petit.
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nodjim
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par nodjim » 20 Jan 2011, 19:37
Patastronch a écrit:111111 222 33 4 5 66 7 8 9
f(111111 222 33 4 5 66 7 8 9)=613223141526171819 qui est différent du nombre origine.
Sinon f(613223141526171819)=613223141526171819.
Mais ce n'est pas le plus grand.
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nodjim
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par nodjim » 20 Jan 2011, 19:40
Patastronch a écrit:Zut j'ai oublié le 0 ...
On est sur qu'il peut y a avoir qu'un seul 0 au max du coup je tente :
0 1111111 222 33 4 5 6 77 8 9
A l'ordre près
f(10713223141516271819)=10713223141516271819
Mais ce n'est pas le plus grand.
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nodjim
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par nodjim » 20 Jan 2011, 19:41
scelerat a écrit:Ben d'après l'exemple aimablement fourni avec la question, alors 98776543322211111110 qui a le même f(N) devrait aussi vérifier f(N) = N...
Le même que Patastronch mais ce n'est pas le plus grand.
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Patastronch
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par Patastronch » 20 Jan 2011, 21:01
scelerat a écrit:Ben d'après l'exemple aimablement fourni avec la question, alors 98776543322211111110 qui a le même f(N) devrait aussi vérifier f(N) = N...
Pourquoi ? J'avais la flemme de trouver le bon arrangement mais prendre le plus grand nobre possible ca marche pas, faut trouver l'arrangement tel que N = N non ? doit y avoir une méthode simple pour trouver l'arrangement mais ce matin j'avais pas envie de passer toute ma pause café à faire ca !
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Patastronch
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par Patastronch » 20 Jan 2011, 21:02
nodjim a écrit:A l'ordre près
f(10713223141516271819)=10713223141516271819
Mais ce n'est pas le plus grand.
Ok ... bon je garde le probleme pour la pause café de demain matin :p
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fatal_error
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par fatal_error » 20 Jan 2011, 21:08
salut,
f(10713223141516271819)=10713223141516271819
jpense que c'est le plus grand.
donc j'argumente.
le plus grand N a le plus de chiffres possible.
(si N_1 a moins de chiffre que N, alors N est plus grand que N_1).
A partir de là, le nombre N a au plus 20 chiffres.
on écrit N sous la forme
_0_1_2_3_4_5_6_7_8_9
sous réserve qu'un tel nombre existe.
on ne peut pas avoir de 0 compteur de nombre donc au plus un seul zéro
10_1_2_3_4_5_6_7_8_9
si on place deux 9, alors il faut placer un autre 9 ailleurs, et donc ca capote par rapport aux _
Donc un seul 9
10_1_2_3_4_5_6_7_819
pour 8, si on place deux 8, alors la seul possibilité est
1081_2_3_4_5_6_72819
mais ca implique d'avoir trois 2 (deux 2 étant pas possibles...), et de fait deux 3
Or si on écrit
10813223_4_5_6_72819 et qu'on complète avec des 1, on ne compte que sept 1
donc un seul 8.
10_1_2_3_4_5_6_71819
si on tente deux sept, on a la solution S
10713223141516271819
or, quelquesoit le chiffre qu'on appose devant le 1 (10_1), s'il est inférieur à 7, alors le nombre est inférieur à S.
Donc le plus petit nombre possible est
1071_2_3_4_5_6271819
(trois septs n'étant pas envisageable).
il faut donc placer cinq 1 pour compléter.
Il est clair qu'il faut des 1 devant 4,5 et 6, sinon on pourrait pas compléter les termes multipliés par 4.
donc
1071_2_3141516271819
il ne reste plus qu'à compter le nombre de 2 et de trois qui est la seule solution restante.
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Doraki
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par Doraki » 20 Jan 2011, 21:43
moi je penche pour 101112213141516171819
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fatal_error
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par fatal_error » 20 Jan 2011, 21:56
jcrois que tu peux pas
10 11 12 21 3141516171819
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Doraki
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par Doraki » 20 Jan 2011, 21:59
Il y a onze 1s
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par fatal_error » 20 Jan 2011, 22:00
hen mais quel tricky^.
au temps pour moi :marteau:
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nodjim
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par nodjim » 20 Jan 2011, 23:01
Doraki a trouvé le même que le mien.
Pour les plus courageux, on pourrait demander la liste exhaustive de ces nombres, il n'y en a pas tant que ça.
Bel exemple de problème sur les auto-références.
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Patastronch
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par Patastronch » 22 Jan 2011, 16:51
Doraki a écrit:Il y a onze 1s
Arg c'était l'astuce qui me manquait !
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