Moyenne géométrique

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Moyenne géométrique

par Oli1 » 22 Jan 2021, 20:26

La moyenne proportionnelle est une découverte qui a fasciné les hommes depuis l'antiquité grecque car elle permet de mettre en relation des nombres qui ne font pas partie de la même progression géométrique. Les travaux des pythagoriciens ont permis de découvrir de nombreuses moyennes proportionnelles notamment grâce à une figure de géométrie qui les rassemble toutes : le triangle rectangle.

Ainsi dans le triangle rectangle ABC, le segment AH est la "moyenne proportionnelle" de deux segments BH et HC, si BH/AH = AH/HC. Cela donne la formule AH=√BH * √HC qui correspond au triangle rectangle, H étant le pied de la hauteur. Ces choses étant connues depuis l'antiquité je ne m'y attarderai pas.

S'il est évident aujourd'hui que par exemple pour une hauteur AH de 19, 41, nous aurons 29 / 19,41 = 19,41 / 13, et que 19,41 * 19,41 = 29 * 13 = 377, je me demande toutefois s'il existerait une formule mathématique qui permettrait de calculer simplement la longueur des deux côtés proportionnellement à la hauteur. Par exemple si je pose une hauteur de 66, pourrait-on trouver les deux côtés qui lui correspondent par une règle simple de calcul de proportions et sans faire appel aux méthodes classiques de factorisation ?



Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

Re: Moyenne géométrique

par mathelot » 23 Jan 2021, 10:42

Bonjour, on a la règle suivante: avec les données de l'équation, si l'on peut faire une construction géométrique du problème alors on peut calculer les inconnues. Par exemple, si l'on se donne BH
et CH, on peut construire deux triangles rectangles solutions.

lyceen95
Membre Complexe
Messages: 2255
Enregistré le: 15 Juin 2019, 01:42

Re: Moyenne géométrique

par lyceen95 » 23 Jan 2021, 12:45

Si tu veux une hauteur de 66, et aucune autre contrainte pour ton triangle (à part l'angle droit en A), il y a une infinité de solutions. Donc pas de formule directe pour calculer les autres valeurs du triangle à partir de ce 66.
Si tu imposes en plus par exemple la valeur BH/CH , alors il n'y a plus qu'une solution.

Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Re: Moyenne géométrique

par Oli1 » 23 Jan 2021, 20:31

Justement les valeurs BH et CH sont toujours définies par un rapport de grandeur tel que √BH * √CH = AH = 66, car sinon ce n'est plus un triangle rectangle ! Et nous savons également que BH / AH = AH / CH.... car AH est la moyenne géométrique des segments BH et CH ce en quoi se joue sa fonction de hauteur du triangle rectangle..... Donc connaissant ces deux contraintes de construction je me demande si c'est si difficile que ça de calculer les côtés manquants même si on ne connaît aucun des côtés de ce triangle rectangle.

On pourrait également imaginer une approche graphique basée sur le calcul des angles.... Dans tous les cas le problème s'apparente à une équerre en rotation autour du point A situé au sommet de la hauteur du triangle rectangle.... Comme le problème n'admet pour chaque hauteur qu'une seule et unique solution, et connaissant les contraintes de construction mentionnées plus haut, je me dis qu'il doit bien être possible de trouver une formule générale de calcul pour instancier les valeurs B et C proportionnellement à AH....

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 6016
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Moyenne géométrique

par GaBuZoMeu » 23 Jan 2021, 21:05

Bonsoir,

Tu écris l'une à la suite de l'autre deux phrases qui se contredisent
Dans tous les cas le problème s'apparente à une équerre en rotation autour du point A situé au sommet de la hauteur du triangle rectangle.... Comme le problème n'admet pour chaque hauteur qu'une seule et unique solution,

Dans la première phrase, tu notes correctement qu'il y a un degré de liberté (la rotation de l'équerre). Et dans la deuxième phrase, tu affirmes qu'il y a une solution unique !

Essaie de tenir un discours cohérent.

Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Re: Moyenne géométrique

par Oli1 » 23 Jan 2021, 22:37

Oui tu peux faire tourner l'équerre autour du point pour produire autant de valeurs possibles pour la ligne BC qui satisfassent le fait de conserver l'angle droit, mais une seule solution pourra satisfaire les deux conditions : la condition de grandeur √BH * √CH = AH = 66 et la condition de proportionnalité BH / AH = AH / CH.

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 6016
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Moyenne géométrique

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2021, 09:41

Tu persistes à ne pas comprendre.
La "condition de grandeur" implique trivialement la "condition de proportionnalité" : quels que soient les réels strictement positifs , si alors .
En quelle langue faut-il te l'écrire pour que tu comprennes ?

Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Re: Moyenne géométrique

par Oli1 » 24 Jan 2021, 10:25

Bonjour, non c'est vous je pense qui ne comprenez pas ce que je dis. Donc pour être plus clair dans mes propos je vais vous présenter la solution à laquelle je pense.
La question initiale était : Peut-on calculer les côtés d'un triangle rectangle en ne connaissant que la mesure de sa hauteur ? Et existerait-il une méthode générale pour accomplir cela ?
A priori la réponse est non, mais ce n'est pas grave essayons quand même...
La seule information dont on dispose est la mesure de la hauteur, donnons lui une valeur arbitraire de 66 .
La difficulté pour répondre à cette question est précisément la rotation de l'équerre située au sommet A de la hauteur qui engendre potentiellement une infinité de solutions.
Par conséquent la seule "méthode" que je vois serait de chercher à déterminer la médiane du segment BC, et plus précisément son centre O qui permettrait de tracer un cercle qui toucherait les trois points A, B, C. Dans un tel cas nous aurions notre réponse car le segment AB serait égal au diamètre de ce cercle. Et en ayant la mesure de BC et de la hauteur nous pourrions trouver facilement la mesure des deux autres côtés.
La question devient donc : comment trouver le centre O du segment BC qui est également le centre d'un cercle qui touche ABC ?
Pour y arriver je propose de développer une projection verticale de la mesure de la hauteur autour de l'axe BC qui lui servira d'axe de symétrie. 2 * 66 = 122. Puis une autre projection horizontale de la hauteur * 2 autour d'un centre O hypothétique qui servira d'axe de symétrie verticale à HH' et H''H'''.
On aboutira donc au schéma suivant : 2 segments verticaux parallèles de longueur 122 coupés en leur centre par une même médiane horizontale dont les points de début et de fin sont B et C.
Du coup il s'agira de déterminer la longueur des deux segments horizontaux parallèles joignant les extrémités des deux hauteurs et ayant une même médiane verticale qui coupe BC en son centre.
Le problème devient alors de trouver une méthode permettant de calculer le rayon ou le diamètre d'un cercle qui passe par les sommets d'un parallélogramme ayant deux côtés verticaux de longueur 122 et dont le centre se situe quelque part sur la médiane de ces deux côtés verticaux.
En posant le problème ainsi, il est absolument certain qu'il n'admet plus qu'une seule et unique solution et il me paraît beaucoup plus simple à régler que si on se cantonne à faire tourner une équerre sur la hauteur d'un triangle rectangle avec une infinité de solutions possibles....

https://debart.pagesperso-orange.fr/geo ... angle3.png

Dans ce schéma le sommet de la hauteur s'appelle C alors que dans mon raisonnement c'est A, mais au final on a bien la même chose. Ce schéma présent la moitié de la solution que je vous propose ici. Logiquement si on reprend la nomenclature de ce schéma pour tracer non pas un demi cercle mais un cercle complet, on devrait pouvoir calculer le diamètre d'un cercle unique qui coupera les six points : A, B, C, C'', C"' et C''''.

lyceen95
Membre Complexe
Messages: 2255
Enregistré le: 15 Juin 2019, 01:42

Re: Moyenne géométrique

par lyceen95 » 24 Jan 2021, 13:00

Prenons ton dessin.
Le triangle ABC est rectangle en C, et H est le Pied de la hauteur partant de C.

Par hypothèse, CH mesure 66 mm.
Tu dois quand même bien voir que si tu imposes par exemple BH = 10mm, tu trouves une première solution. Si tu imposes BH = 12 mm, tu en trouves une 2ème ... si tu imposes par exemple BH=66mm tu en trouves encore une autre (une assez particulière d'ailleurs). Et pour chaaque valeur que tu peux choisir pour BH, tu trouves une nouvelle solution.

Quand tu raisonnes avec ton équerre, tu visualises l'équerre que tu utilisais à l'école, qui a des proportions imposées ( un triangle dont les angles mesurent 90°, 60° et 30°). Donc effectivement, si tu imposes non seulement un angle droit, mais des valeurs bien précises pour les 2 autres angles, alors oui, il y a une seule solution.
Mais, cette contrainte sur les 2 autres angles, tu n'en parles pas dans ta question, donc nous, on considère que cette contrainte n'existe pas !

Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Re: Moyenne géométrique

par Oli1 » 24 Jan 2021, 20:18

Je suis tout à fait d'accord avec ce qui vient d'être dit par Lyceen et GabuzoMeu. C'est moi qui avais formulé ma question de manière imprécise. En effet dans le cas général, il y a autant de triangles rectangles possibles que de rotations possibles de l'équerre autour du point C situé au sommet de la hauteur H.

Ainsi quand on se reporte au dessin que je vous ai transmis et qui représente ce que je cherche vraiment, et si on fait une projection symétrique de la hauteur à la verticale puis à l'horizontale (de telle manière que les deux hauteurs soient équidistantes de A et B ainsi que du centre O, alors je constate qu'il existe plusieurs cercles possibles qui couperont les 6 points A, B C, C', C'', C''', selon la rotation que l'on donne à l'équerre.
Modifié en dernier par Oli1 le 24 Jan 2021, 21:00, modifié 1 fois.

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 6016
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Moyenne géométrique

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2021, 20:35

Oli1, je me demande si tu finiras par comprendre. Tu as l'air trop enferré dans ton histoire pour en démordre.

Examinons ton dessin. Tu as décidé que si , alors et . Ce n'est qu'une façon de poser l'angle droit en A. Moi je peux décider une autre façon avec et ; j'ai aussi un angle droit. Et je peux prendre n'importe quel réel et prendre et j'aurai toujours un angle droit.

Ce n'est tout de même pas sorcier à comprendre !

PS. Le temps que je poste (j'ai traîné en route), je vois que tu as tout de même compris. Ouf !

Oli1
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 15 Jan 2021, 21:11

Re: Moyenne géométrique

par Oli1 » 25 Jan 2021, 11:10

Je vais reformuler ma question correctement en lançant une nouvelle question qui va exprimer ce que recherche réellement.

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 7 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite