Mirroir circulaire

[miikou]

Salut,

on prend un "C' un cercle, S0 S1 deux pts du cercles.

On definie la suite Sn de la facon suivante : on prend la droite passant par Sn-2 et Sn-1 et de vecteur directeur Sn-2Sn-1. Cette droite se reflechi et on note Sn l'intersection du rayon reflechi avec le cercle "C"

A quelle condition sur S0, S1 peut on avoir : C={ Sn } n dans IN

[Imod]

Il me semble que les deux ensembles n'ont pas le même cardinal :triste:

Imod

[miikou]

salut imod,

a oui en effet [0,1[ non dénombrable en effet
question bete :help:

[Doraki]

Et à quelle condition est-ce que {Sn} est fini ?

[miikou]

salut,

Je ne sait pas ce pb m'est venu comme ca je le pensais interessant mais a priori non ..
Intuitivement je dirais que la condition est si en faisant une rotation par rapport au centre du cercle S0 et S1 sont des sommet de l'ensemble des racines n iem de l'unité ?

[miikou]

salut,

ce pb m'est venu comme ca je ne sais pas si c'est interessant .
a vrai dire comme ca je dirais que c'est tjs le cas ?

[Ben314]

salut,

ce pb m'est venu comme ca je ne sais pas si c'est interessant .
a vrai dire comme ca je dirais que c'est tjs le cas ?

Non : il y a deux cas de figures :
Soit l'ensemble des Sn est dense (i.e. tout arc de cercle aussi petit soit il contient une infinité de points Sn)
Soit l'ensemble des Sn est fini.

Je te laisse chercher à quelle condition sur S0 et S1 on est dans chaque cas...

(le problème est interessant et c'est plus qu'une simple "énigme" : c'est "presque" un théorème d'algèbre en général enseigné en L2 ou L3)

[miikou]

on note c le centre du cercle

si l'angle cS0,cS1 est de la forme 2pi*k/n alors l'ensemble decrit est les racines n iemes de l'unité

Cela ma l'air detre une condition necessaire également pour que Sn soit fini ..

[Ben314]

Tout à fait :
Si l'ensemble des Sn est fini, alors il existe deux indice n et n' distincts tels que Sn=Sn' (car N est lui infini) ce qui prouve que (n-n').angle(S0,S1) est un multiple de 2pi.