Minimum d'un produit de distances.

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
yos
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Minimum d'un produit de distances.

par yos » 04 Déc 2006, 23:50

Bonsoir.
Voici un exercice pour lequel je ne suis pas sûr qu'il y ait une solution type olympiade.

Dans le plan, on considère n points et un cercle de rayon 1.
Démontrer qu'il existe un point M de tel que
.



darkmaster
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par darkmaster » 05 Déc 2006, 03:54

Par récurrence:

Initilisation:
Donc, parmi il y a un point soit

Hypothèse de récurrence:
Pour n=k, on a toujours
pour l'ensemble des points
On note M :

Rang(k+1):
D'abord, on a un emsemble A de (k+1) points dans le plans. On doit démonter l'existence de
On considère les parties de A qui contient k points.Donc, il y a n ensembles comme ça.Alors, . Chaque a un ( par hypothèse de récurrence). On va montrer il éxiste un ensemble tel que:
.On appelle les points dans et le point mais : On a

darkmaster
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par darkmaster » 05 Déc 2006, 13:41

Tu as une solution type non-olympiade?

yos
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par yos » 05 Déc 2006, 14:26

darkmaster a écrit:Tu as une solution type non-olympiade?

Oui. Je la donnerai si ça intéresse quelqu'un.

MikO
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par MikO » 05 Déc 2006, 21:17

laisse nous un peu chercher :p

Imod
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par Imod » 05 Déc 2006, 22:20

On ne peut pas s'empêcher de penser au principe du maximum mais il faudrait fouiller un peu plus .

Imod

Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 00:43

J'ai en effet trouvé une solution simple ( si on a :id: ) utilisant le principe du maximum , je vais voir maintenant si on peut voir le problème autrement .

Imod

yos
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par yos » 09 Déc 2006, 01:22

Ma solution est plus terre à terre tout de même. Tu peux nous donner la tienne si tu veux.

Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 01:43

Je te donne ma solution demain , elle est courte mais nécessite un peu de "latex" et après 12 heures d'interruption d'électricité , je pare au plus pressé ( tempête oblige ) .

A demain ,

Imod

Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 14:01

Il suffit de considérer le cercle trigonométrique et points d'affixes . On pose alors avec . est holomorphe sur et . D'après le principe du maximum . Or pour donc pour et pour finir : .

Imod

yos
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par yos » 09 Déc 2006, 16:30

Salut.
Pourquoi ?
Ta définition de passe du coef constant au coef dominant non?

Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 16:36



Imod

PS : J'ai un peu mélangé les i et les k , je vais corriger :marteau:
PPS : L'intérêt de la fonction g est justement d'échanger les coefficients dominants et constants de f tout en gardant le même module que f sur le cercle unité.

yos
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par yos » 09 Déc 2006, 19:46

C'est bien vu.
Si tu veux éviter le principe du maximum, tu peux écrire l'égalité
,
qui découle du fait que l'intégrale sur d'un terme
est nulle si , et vaut sinon.

 

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