Minimum d'un produit de distances.
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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yos
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par yos » 04 Déc 2006, 23:50
Bonsoir.
Voici un exercice pour lequel je ne suis pas sûr qu'il y ait une solution type olympiade.
Dans le plan, on considère n points
et un cercle
de rayon 1.
Démontrer qu'il existe un point M de
tel que
.
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darkmaster
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par darkmaster » 05 Déc 2006, 03:54
Par récurrence:
Initilisation:
Donc, parmi
il y a un point soit
Hypothèse de récurrence:
Pour n=k, on a toujours
pour l'ensemble des points
On note M :
Rang(k+1):
D'abord, on a un emsemble A de (k+1) points dans le plans. On doit démonter l'existence de
On considère les parties
de A qui contient k points.Donc, il y a n ensembles comme ça.Alors,
. Chaque
a un
( par hypothèse de récurrence). On va montrer il éxiste un ensemble
tel que:
.On appelle les points dans
et le point
mais
:
On a
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darkmaster
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par darkmaster » 05 Déc 2006, 13:41
Tu as une solution type non-olympiade?
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yos
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par yos » 05 Déc 2006, 14:26
darkmaster a écrit:Tu as une solution type non-olympiade?
Oui. Je la donnerai si ça intéresse quelqu'un.
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MikO
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par MikO » 05 Déc 2006, 21:17
laisse nous un peu chercher :p
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Imod
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par Imod » 05 Déc 2006, 22:20
On ne peut pas s'empêcher de penser au principe du maximum mais il faudrait fouiller un peu plus .
Imod
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Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 00:43
J'ai en effet trouvé une solution simple ( si on a :id: ) utilisant le principe du maximum , je vais voir maintenant si on peut voir le problème autrement .
Imod
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yos
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par yos » 09 Déc 2006, 01:22
Ma solution est plus terre à terre tout de même. Tu peux nous donner la tienne si tu veux.
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Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 01:43
Je te donne ma solution demain , elle est courte mais nécessite un peu de "latex" et après 12 heures d'interruption d'électricité , je pare au plus pressé ( tempête oblige ) .
A demain ,
Imod
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Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 14:01
Il suffit de considérer le cercle trigonométrique et
points
d'affixes
. On pose
alors
avec
.
est holomorphe sur
et
. D'après le principe du maximum
. Or pour
donc pour
et pour finir :
.
Imod
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yos
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par yos » 09 Déc 2006, 16:30
Salut.
Pourquoi
?
Ta définition de
passe du coef constant au coef dominant non?
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Imod
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par Imod » 09 Déc 2006, 16:36
Imod
PS : J'ai un peu mélangé les i et les k , je vais corriger :marteau:
PPS : L'intérêt de la fonction g est justement d'échanger les coefficients dominants et constants de f tout en gardant le même module que f sur le cercle unité.
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yos
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par yos » 09 Déc 2006, 19:46
C'est bien vu.
Si tu veux éviter le principe du maximum, tu peux écrire l'égalité
,
qui découle du fait que l'intégrale sur
d'un terme
est nulle si
, et vaut
sinon.
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