Min et max

[aviateurpilot]

bonjour

soit une permutation de

trouver la permutation qui maximise la somme et la permutation qui la réduit au minimum.

[Mikou]

salut,

le resultat est immediat en utilisant l'inegalité du réordonnement :lol4:

[aviateurpilot]

oui,
mais seulement pour le max

[aviateurpilot]

:doh: :doh:
au moin une idée pour m'aider a la resoudre
et merci d'avance

[BancH]

Chaque nombre est multiplié par la somme de deux autres nombres, sauf le premier et le dernier nombre qui seront multipliés que par un seul autre nombre, pour maximiser le résultat, il est alors nécessaire que ces deux nombres extrèmes soient les plus petits possibles. On a alors les deux nombres extrèmes de la permutation, la permutation de sera de la forme .

Le plus petit nombre doit être multiplié par un autre petit nombre, doit donc être multiplié par le plus petit nombre après lui, étant déjà placé, ce sera .

On continue avec qui devra être multiplié par , par , par ... on complète la permutation :

Si avec alors la permutation qui maximise le résultat est :

Si avec alors la permutation qui maximise le résultat est :

Pour que le résultat soit le plus petit possible, les deux plus grands nombres doivent être multipliés une seule fois et par les deux plus petit nombres :
Le doit être multiplié par le plus grand nombre restant puis le aussi : , on continue et on trouve :

Si avec alors la permutation qui minimise le résultat est :

Et si avec alors la permutation qui minimise le résultat est :

Edit : désolé mais j'ai mal lu la somme S, j'avais pas vu le dernier produit :

:cry2:

[aviateurpilot]

lol

c'est pas grave
essaye une autre fois

[Mikou]

:p oui c'est le dernier produit qui pose pb sinon on utiliserai linegalité du réordonnement.

[BancH]

Normalement ça devrait donner pour pair et pour impair.
Mais ça parraît un peu simple.

[buzard]

bonjour,

A première vue, les permutations qui minimise ou maximise la somme ne sont pas unique. On remarque que la somme est conservé par rotation des indices.

Pour résoudre ca, je suggère de plonger le probleme dans un cas plus générale de l'etude des extrema sur R^n de la fonction :



son gradient etant :



on en déduit les points critiques (qui dependent de n (mod 4)) :

n=4p :

les points critiques forme le plan

n=4p+1 ou n=4p+2 ou n=4p+3 :

le seul point critique est (0,0,...,0)

Il s'avere egalement que la matrice hessienne de f est constante (car f est un multinome de degree 2), et je pense qu'elle n'est pas définie positive ou négative (je n'ai pas fais les calculs des valeurs propres mais ca parait logique, qu'on puisse trouver autour de 0 des points pour lesquels f>0 et d'autre pour lesquels f<0)



Bon en gros, tous les points critiques de f sont des points selles et f y est toujours nulle (on le verifie aisement qd n=4p)


Ramenenons, maintenant l'étude du coté du cone positif , on constate que le cone est entièrement contenue dans un versant de la selle, ce qui veut dire que pour atteindre le maximum, il faut etre le plus loin possible du col.
et comme il n'y a pas de sommet, plus on est haut plus la pente est grande, (et reciproquement). Donc il semble logique de vouloir maximiser le gradient (ou plutot sa norme) pour trouver les permutations que l'on cherche :

Je ne suis pas certain de ce que j'avance, il faudrais faire des calculs pour le vérifier, mais l'avantage de cette intuition est de ramener l'etude à une forme quadratique définie positive, donc à une sorte d'ellipsoide, plutot que la forme dégénéré du départ.

Bon je continuerais plus tard, et si quelqu'un veut me contredire ou continuer le cheminement il est le bien venu. (surtout au sujet de l'intuition sur la pente)

[aviateurpilot]

Bon je continuerais plus tard, et si quelqu'un veut me contredire ou continuer le cheminement il est le bien venu. (surtout au sujet de l'intuition sur la pente)

tous ça et t'a pas encore fini :doh:
merci comme meme
mais stp essaye de la resoudre de tel sorte qu'un eleve de terminal peut la comtrendre
sinon, continue ta solution
au moin pour ceux qui sont au dessus du terminal.
:++: