Mikados en bazar

[Vassillia]

Bonjour, un problème plus géométrique pour alterner avec cette histoire de triangles de Steinhaus.

On lance mikados (assimilés à des segments) de longueur 1 qui se disposent au hasard dans le plan.
On les translate (on ne peut donc pas changer leur direction) de sorte à les mettre bout à bout pour construire une chaine. L'objectif est d'avoir une distance entre les 2 extrémités de la chaine la plus petite possible. Essayons de donner le plus petit majorant de cette distance même si dans un premier temps n'importe quel majorant peut faire l'affaire.

Promis cette fois pas besoin d'outil informatique pour résoudre le problème même si ce n'est pas interdit pour avoir une idée, bon courage et bon amusement j'espère

[Imod]

Bonjour Vassillia
La chaîne finale est simple ou on autorise les croisements ?
Imod

[Vassillia]

Bonne question, j'autorise les croisements au sens où les mikados peuvent se superposer par endroit mais à une extremite d'un mikado, il ne peut y avoir qu'un seul autre mikado mis bout à bout sinon ce n'est plus vraiment une chaîne.

Ceci dit, si tu as une idée sans croisement, cela pourra toujours servir de majorant puisque si c'est valable sans croisement, c'est forcément valable avec (ou sans) croisement

[lyceen95]

Très intéressant comme exercice !
Problème, ça va m'empêcher de dormir.
Je n'ai plus qu'à aller à la pharmacie maintenant, m'acheter du somnifère.
C'est malin !

[Imod]

Une idée que j'avais déjà eu à propos d'un autre problème : on oriente les baguettes ui et on met toutes les origines en un même point . La distance entre les deux extrémités de la chaîne n'est rien d'autre que la norme de la somme des vecteurs ui . L'étude revient à minorer ||e1.u1+e2.u2+...+en.un|| , les ei prenant les valeurs +1 ou -1 . Comme tous les vecteurs sont normés ont peut sans doute utiliser les complexes , les vecteurs étant alors définis par un argument .

Imod

[Vassillia]

Si tu préfères cette retranscription mathématique, je suis tout à fait d'accord Imod.

On peut effectivement se débrouiller pour mettre la première extrémité de chaque mikado en l'origine O et la seconde extrémité sur le demi-cercle de centre O et de rayon de 1 avec et par exemple. Cela donne des vecteurs.

Former une chaine c'est choisir les donc l'objectif est de trouver tel que qui sont des vecteurs rayons du demi-cercle tel que

Maintenant il faut proposer une valeur pour , il en va du sommeil de Lyceen95. Voilà comment je me déculpabilise et je rejette la faute sur les autres Blague à part je suis contente que le sujet vous plaise

[Vassillia]

Une idée pourrait être de commencer par puis de raisonner par récurrence en cherchant directement une propriété plus forte sur des longueurs de mikados 1

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

On peut toujours s'arranger pour rester dans le disque de centre l'origine et de rayon .
Point clé (en formulation complexe) : partant de dans ce disque, on peut toujours choisir les signes dans pour que ce soit aussi dans ce disque. Sans perte de généralité, on peut supposer et et .
Alors

donc ou .

[Vassillia]

Bon, ben bravo GaBuZoMeu, sans surprise c'est le meilleur majorant possible
Ce qui est génial, c'est que tu as systématiquement une présentation différente de celle que je connais même si l'idée derrière ton point clé est exactement la même.

Cas
Avec 2 mikados de longueur , on peut créer un angle ° donc la distance entre les extrémités de la chaine est



Cas
Avec mikados, on peut en choisir 2 qui permettent de créer un angle ° donc la distance entre les extrémités de cette sous-chaine est


Par récurrence si on remplace ces 2 mikados par le mikado imaginaire défini précédemment, on peut montrer la propriété


Source : Fabien Gigante

[Imod]

J'avais arrêté de chercher parce que V2 semblait évident mais pénible à démontrer . J'aime bien ta démonstration que l'on peut adapter très facilement à une ligne qui ne se recoupe pas .

Imod

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Très joli le coup du 60° pour la récurrence, et je trouve ça en fait très différent de l'idée plus bourrin que j'ai employée.

[GaBuZoMeu]

on peut adapter très facilement à une ligne qui ne se recoupe pas .

Que veux-tu dire, Imod ?

[Vassillia]

Bonjour,
Tu as raison mais ce que je voulais dire, c'est que je peux forcer (même si je ne suis pas obligée) la chaine à rester dans le disque en mettant mes mikados vert et orange soit d'un côté soit de l'autre vu qu'en fait j'ai toujours 2 angles °

[GaBuZoMeu]

je peux forcer (même si je ne suis pas obligée) la chaine à rester dans le disque en mettant mes mikados vert et orange soit d'un côté soit de l'autre

Vassilia, tu es sûre de chez sûr de ce que tu écris ?
Moi, en tout cas, je ne peux pas :

[Vassillia]

Euh non, je ne suis pas du tout sure, j'ai répondu un peu vite par rapport à l'idée de Imod qui affirmait qu'on peut facilement démontrer sans croisement. J'en doute aussi du coup.

[Vassillia]

Bonjour,
Un début d'idée, pour faire plaisir à Imod qui veut éviter les croisements ou pour me faire plaisir en mettant tout à l'intérieur du cercle si est pair.
Dès le début, on classe les mikados en fonction de leur angle et on a le choix entre OP1 et OP1' pour commencer.

La somme des distances bleus ou la somme des distances rouges est
On peut ensuite uniquement translater les vecteurs bleus ou rouges et mettre les mikados à l’extérieur ou à l’intérieur.


Pas encore démontré que la distance finale entre les extrémités de la chaine sera et pas étudié le cas impair mais vous saurez peut-être améliorer l'idée avant moi, je suis un peu occupée en ce moment.

Bonne journée à tout le monde

[Imod]

Je reviens sur ce petit problème que j'avais un peu oublié . Construire une chaîne de mikado revient à orienter chacun d'eux , la distance entre les extrémités n'est rien d'autre que la norme de la somme de ces vecteurs , indépendante de l'ordre de la sommation . On peut par exemple sommer les vecteurs en suivant l'ordre croissant de l'angle formé avec l'horizontale . Si la ligne brisée obtenue se recoupe , on devait pouvoir décroiser comme sur l'exemple ( en remplaçant le vert par le bleu ) sans changer l'écart final .



En fait je ne suis plus trop sûr que ça marche à tous les coups

Imod

[Imod]

Plus généralement je me pose la question suivante : on considère un ensemble de n vecteurs du plan de directions différentes et de somme non nulle . On part d'une origine P0 puis on choisit l'un des vecteurs U , le point P1 est alors défini par P0P1=U ( en vecteurs ) . On construit ensuite P2 à partir de P1 et d'un nouveau vecteur de la liste jusqu'au point Pn et épuisement de la liste des vecteurs .

Est-il toujours possible de choisir un ordre pour les vecteurs de façon à ce que la ligne brisée P0P1...Pn ne se recoupe jamais ? Je n'ai pas de contre-exemple pour le cas général , pour celui de Vassillia tous les vecteurs sont normés ( est-ce plus simple ? ) .

Imod

[Imod]

Un lien pour clore le problème : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2281508,2281508#msg-2281508
Imod

[Vassillia]

Merci Imod pour cette suite que je viens de lire avec attention, je n'avais pas suivi ce fil posté ailleurs, c'est une très jolie conclusion.