Mieux vaut nager que courir!

[vanhoa]

voila une enigme que j'ai trouve sur internet mais je ne pense pas qu'elle ait deja ete postee sur ce forum, en tout cas je ne l'ai pas vue.

peut etre que vous la connaissez.

Laura se trouve sur le bord d'une piscine circulaire. Juste à côté en dehors de l'eau, se trouve, Niki un méchant qui veut attraper cette personne. Niki court 4.5 fois plus vite que Laura nage. Comment Laura peut elle s'en sortir ?


je dirai donc que niki cherchera toujours a etre le plus proche possible de laura. donc si on considere un cercle de rayon 1 centre en (0;0), avec niki en (0;1) sur le bord et laura en (0;1) egalement dans la piscine, alors laura devrait nager vers (0;0) et niki est cense ne pas bouger! car il cherche a etre le plus proche possible de laura et donc pour que ce soit le cas, c'est de ne pas bouger.

ensuite quand laura arrive au centre, si elle continue tout droit, niki partira soit a gauche soit a droite. donc est ce que laura doit suivre un mouvement de facon a toujours rester aligne avec niki et le centre? (le centre sera entre niki et laura lorsque laura aura depasse le centre) donc cela ferai des zigzag non?

si vous avez quelques idees

++

Van Hoa

[vanhoa]

ou alors ca ferait plutot un spirale qui part du centre non?



le carre vert c'est laura, le carre rouge, niki, on voit que le centre niki et laura sont alignes (donc la situation sur le dessin c'est apres que laura ait passe le centre) on voit sa trajectoire en vert, et en noir sa trajectoire future.

est ce que c'est une solution possible? je pense que ca doit etre quelque chose comme cela mais je ne voit pas du tout comment le prouver

[Ben314]

Salut,
Si le rayon de la piscine est R et que la vitesse de Niki et k fois plus grande que celle de Laura, ta stratégie (qui me semble être la bonne lorsque Laura cherche à s'éloigner du centre de la piscine) marche jusqu'à ce que elle soit à une distance d=R/k du centre (au dela, elle n'a plus assez de vitesse pour rester en face de Niki).
Arrivé à ce point, il me semble (???) qu'elle a intérêt à partir tout droit vers le bord de la piscine. Il lui reste R-R/k à parcourir alors que Niki doit parcourir pi.R. Pour que "ça passe", il faudrait que pi.P>k(R-R/k) c'est à dire que pi>k-1.
Le p.b. c'est qu'avec k=4.5, "ça passe pas".

Comme je vois pas mieux comme méthode pour le moment, je vote (temporairement) "Laura=Foutue" !!! :zen:

[vanhoa]

oui effectivement, a partir de R/k du centre, si elle tourne en rond elle aura exactement la meme vitesse angulaire, mais est ce qu'elle ne peut pas faire des petits zigzags a partir de R/k? car par exemple, si elle tourne dans le sens positif, niki changera de sens et tournera en negatif, donc il faudrait qu'elle tourne en negatif a ce moment et ainsi de suite (des zigzags en s'eloignant)... enfin en y reflechissant je ne vois pas pourquoi niki changerai de sens puisqu'il pourrait la rattraper

[Galax]

En partant en arc de cercle plutôt qu'en ligne droite (à partir de d), avec un rayon proche du rayon de la piscine d'ailleurs, j'ai l'impression qu'on peut sauver la fillette jusqu'à k légèrement inférieur à 4.30.
C'est un résultat numérique, pas eu le courage de pousser les calculs formels jusqu'au bout.
Est il optimal ...

[Ben314]

Je pense aussi entrevoir la façon de sauver Laura, mais je me paume dans les calculs...

J'ai pris 1 comme rayon de la piscine, décrété que la position de Niki était exp(it) [t=temps] et celle de Laura rho.exp(i.alpha) [rho,alpha fonctions de t] avec alpha'>0 : ils tournent évidement dans le même sens !!!

Pour que les vitesses respectent la règle, on doit donc avoir :
(1) : (rho')²+(rho.alpha')²=1/k² [k=rapport de vitesse Niki/Laura ; ??k>pi+1 ?? ] en considérant que, pour Laura, c'est pas malin d'alller moins vite que le maxi... Je part en t=0 de alpha=pi et rho=1/k vu l'étape précédente.

Ensuite je pose phi=(alpha-t)/(1-rho) [rapport des distances à parcourir si Laura allait droit vers le bord de la piscine] et j'ai considéré que Laura, voulant augmenter le plus possible phi choisi alpha' [et rho' qui sont liés par (1)] de façon à maximiser phi' [là, déjà, je sais pas si c'est malin, elle veut augmenter phi, mais pourquoi le plus vite possible ?]
Ca me conduit à une équation alpha'=... un peu pourrie mais pas trop que je réinjecte dans phi'=... pour voir.
Je résoud phi'>0 qui me donne qui est vrai pour t=0 [pi>0] et cela montre qu'elle peut encore augmenter le rapport des distances.
Par contre, si j'essaye de voir les différents cas de comportement de phi [croissante puis décroissante ou croissante avec limite en +oo ou ...] je tombe (pour le moment) sur des trucs un peu aberrants qui viennent surement du fait que je ne contrôle pas du tout si rho reste 0 et essayer de comprendre ce que le résultat "signifie".

[Ben314]

Je pense avoir le rapport Vitesse_Niki/Vitesse_Laura maxi tel que Laura puisse sortir du bain : 4.603338849
En fait, ce n'est pas trop compliqué (quand on connait la soluce) donc... je laisse chercher... :zen:

[vanhoa]

je me suis un peu perdu dans tes explication, surtout pour tes conditions initiales (ac les variables etc...)

bref, deja, est ce qu'il faut que laura aille au centre puis s'eloigne a une distance de R/k du centre tout en etant aligne ac le centre et niki (cf mon dessin)?

si ca deja c'est bon je pourrai essayer de raisonner a partir de la

donc peux tu me dire si je dois raisonner autrement ou continuer la ou j'en etais?

++

Van Hoa

[Ben314]

je me suis un peu perdu dans tes explication, surtout pour tes conditions initiales (ac les variables etc...)

bref, deja, est ce qu'il faut que laura aille au centre puis s'eloigne a une distance de R/k du centre tout en etant aligne ac le centre et niki (cf mon dessin)?

Oui, je suis parti d'une position "de départ" ou Laura et Niki sont diamétralement opposé et où Laura est à une distance R/k du centre.
Ensuite, tout le fatra d'équation de mon deuxième post, tu peut oublier, ça sert à rien...

P.S. En fait ça m'a servi à faire un programme pour visualiser les différentes trajectoires correspondant à différentes possibilités de 'stratégie différentielle' de Laura puis ça m'a servi... à voir que j'était un peu con !!!

P.S.2 : En fait, dés que Laura sort du cercle de rayou R/k, Niki a une vitesse angulaire supérieure à Laura et il la "ratrappe angulairement".
Il n'a donc aucun intérêt à changer de sens, car ça l'obligerais à repasser dans la position diamètralement opposé à celle de Laura ce qui provoquerais immédiatement un changement de trajectoire de Laura vers une nouvelle trajectoire obtenu par symétrie par rapport au diamètre sur lequel ils sont tout les deux. A part lui faire perdre du temps, cela n'a donc aucun intérêt.

[vanhoa]

Oui, je suis parti d'une position "de départ" ou Laura et Niki sont diamétralement opposé et où Laura est à une distance R/k du centre.
Ensuite, tout le fatra d'équation de mon deuxième post, tu peut oublier, ça sert à rien...

oki bon bah je vais chercher a partir de la

[Doraki]

Je pense avoir le rapport Vitesse_Niki/Vitesse_Laura maxi tel que Laura puisse sortir du bain : 4.603338849
En fait, ce n'est pas trop compliqué (quand on connait la soluce) donc... je laisse chercher... :zen:

Je trouve pareil.

[Ben314]

Je trouve pareil.

Ha, là, je débatrait bien sur le "inférieur ou égal", bon, évidement, l'énoncé n'est pas clair sur le fait que Laura doit arriver au bord strictement avant Niki, mais surtout du fait qu'elle ne peut pas atteindre exactement la circonférence du cercle de rayon R/k en restant à l'opposé de Niki, mais seulement s'en raprocher autant quelle veut (ou alors je me gourre :doh: )

[Doraki]

Je pensais avoir mis un <

Bon apparemment ma Laura doit parcourir une ligne droite tangente au cercle r = R/k, et elle part dans la direction opposée à Niki, qui est censé faire son possible pour aller dans la même direction que Laura.

A moins que Niki soit bien myope et que Laura ait des yeux derrière la tête, je pense que j'devrais revoir la stratégie de Niki.

[vanhoa]

P.S.2 : En fait, dés que Laura sort du cercle de rayou R/k, Niki a une vitesse angulaire supérieure à Laura et il la "ratrappe angulairement".
Il n'a donc aucun intérêt à changer de sens, car ça l'obligerais à repasser dans la position diamètralement opposé à celle de Laura ce qui provoquerais immédiatement un changement de trajectoire de Laura vers une nouvelle trajectoire obtenu par symétrie par rapport au diamètre sur lequel ils sont tout les deux. A part lui faire perdre du temps, cela n'a donc aucun intérêt.

oui mais si laura sort de ce cercle de rayon R/k, alors niki la rattrape angulairement jusqu'a se retrouver dans la position suivante: alignement centre cercle; laura; niki. donc laura sera oblige de repartir vers le centre pour s'eloigner a nouveau... le but de laura est d'etre dans un alignement: niki; centre du cercle; laura non? si niki ne change pas de sens, laura est oblige de tourner dans le meme sens (sachant que laura est sorti du cercle R/k) car si elle change de sens, cela ne fera que accelerer l'echeance... je ne vois pas, je bloque un peu. je vais chercher encore

:briques:


PS: bien sur je fais en sorte de ne pas lire vos reponses pour ne pas etre guide trop facilement

[vanhoa]

j'ai trouve enfin je crois, (mais je suis un peu deg, en descendant l'ascenceur de ma fenetre j'ai vu un "tangente"...

je vais faire mes calculs et je te redirai ;)

[Ben314]

...jusqu'a se retrouver dans la position suivante: alignement centre cercle; Laura; Niki...

Ben, justement, si elle arrive dans une telle disposition, c'est... qu'elle a perdue. Il me semble que le but est justement de voir dans quels cas (et comment) elle peut atteindre le bord AVANT cette disposition.
Au départ, elle à un "rab" angulaire de pi, et elle doit l'utiliser au mieux avant que ce "rab" ne soit mangé par Niki.

[Doraki]

finalement je pense qu'on avait une mauvaise réponse.

je pense que Laura peut s'échapper pour k < 3.571452990,
(Niki a déjà parcouru un radian quand elle est sur le cercle r = 1/k).
et à partir de 3.571452990, je suis pas sûr.

[Ben314]

Niki a déjà parcouru un radian quand elle est sur le cercle r = 1/k

Là, je suis pas d'accord : :triste:
Tant que Laura est strictement à l'intérieur du cercle de rayon 1/k, si elle veut rester sur un même cercle de rayon r (<1/k), et diamétralement opposé à Niki, elle n'est pas à vitesse max.
Elle peut donc utiliser son "Rab de vitesse" pour s'éloigner du centre tout en restant diamétralement opposé à Niki.
Sauf erreur, en gardant cette stratégie, sa distance au centre tend (lorsque t tend vers l'infini) vers 1/k [mais ne l'atteint pas].
Mais pendant toute cette partie de son périple natatoire, elle reste diamètralement opposé à Niki.

Edit : je m'était gourré dans mon intuition [rho' tend vers 0 n'implique pas que rho tend vers une limite : erreur de débutant !!!]
En fait elle atteint parfaitement le bord du cercle de rayon 1/k en un temps fini (et en suivant une trajectoire trés simple...)
Donc, je persiste :
Kmax=4.60333884875170035255658202910301651306739713416053

P.S.2 Et je trouve que l'énigme est trés jolie et, qu'en s'y prenant bien, il n'y as que trés peu de calculs...

[Doraki]

Ah oui t'as raison bon bah c'était bon.

[Ben314]

Ah oui t'as raison bon bah c'était bon.

As tu trouvé quelle trajectoire elle suit à l'intérieur du disque de rayon R/k ?