[Inegalites] Methode

[Anonyme]

Bonjour,

Je voulais voir ce que vous pensez de la demo suivante:

Il s'agit de montrer que:


pour et

Voila comment j'ai procédé :

J'applique Chebyshev
(1)

l’égalité est vérifiée pour

Après application de l'IAG ou de l’inégalité de réordonnement deux fois sur


on trouve l’égalité est obtenu pour

Donc (1) se réécrit :
(2)

Et puisque toute les inégalité qu'on a utilise sont des égalité si alors l’égalité dans (2) est aussi obtenu pour cette condition.

On déduit que le minimum de est obtenu pour mais comme alors ,,.

On remplace dans (2) et on retrouve l’inégalité a démontrer.

Est ce rigoureux ? Peut on procéder ainsi ?

Merci

[Olympus]

Pour moi c'est bon :we:

[Anonyme]

Merci Olympus :we:

[Olympus]

Euh j'ai lu trop vite, certes le cas d'égalité est bon, mais cela ne suffit pas ... Peut-être que 1/(x+1)(y+1) ( + ses permutations ) est inférieur ou égal à 3/4 aussi ...

[Anonyme]

Euh j'ai lu trop vite, certes le cas d'égalité est bon, mais cela ne suffit pas ... Peut-être que 1/(x+1)(y+1) ( + ses permutations ) est inférieur ou égal à 3/4 aussi ...

J'ai pas compris .. peux tu développé le problème ?

[Olympus]

Peut-être que tu auras : . Comment pourrais-tu prouver que ce n'est pas le cas ? Pourtant, le cas d'égalité est toujours valide !

Voilà pourquoi cela ne suffit pas .

[Anonyme]

Peut-être que tu auras : . Comment pourrais-tu prouver que ce n'est pas le cas ? .

Il suffit d'un contre exemple : prend x=0 y=0 et z=5

(Je commence a croire en me relisant que j'ai fais du grand n'importe quoi a partir d'un certain moment mais j'aimerais que quelqu'un me le dise pour en être sur)

[Olympus]

Aussi, ta dernière inégalité est trop faible, car , donc oublie ton application de Chebyshev ( c'est ce qui a affaibli ton inégalité je crois, ou alors c'est IAG faut vérifier ) .

[Anonyme]

Aussi, ta dernière inégalité est trop faible, car , donc oublie ton application de Chebyshev ( c'est ce qui a affaibli ton inégalité je crois, ou alors c'est IAG faut vérifier ) .

Désolé mais je comprend pas trop ...
Qu'est ce qu'une inégalité faible ? et comment/ pourquoi Chebyshev l'affaiblit ?

[Olympus]

x > 3.2 est plus faible que x > 3.20001 par exemple .

À chaque fois que tu appliques un théorème, tu perds en précision ( faut à chaque fois essayer avec quelques nombres pour voir si t'as perdu trop en précision et qu'il faudrait peut-être revenir en arrière ), ce qui est normal car tu vas en implications .

[Nightmare]

Salut à vous deux !

Dites moi, si vous planchez sur autant d'exercice du type "inégalité à prouver", c'est pour le plaisir ou (/et) pour préparer les olympiades?

Parce que je sais qu'à l'époque ou je préparais les olympiades académiques, après 2 ou 3 inégalités de ce type à montrer, j'en avais déjà marre de ce genre d'exercice qu'on a, à mon goût, aucun plaisir à résoudre... C'est d'ailleurs en parti ce qui m'a complètement retiré l'envie de passer les olympiades nationales.

[Olympus]

J'en suis devenu accro moi, j'y peux rien :zen: . Pis, la méthode de la réécriture sous forme SOS/Schur suffit largement pour les olympiades nationales, donc c'est pas pour me préparer .

EDIT : sinon, la première inégalité se démontre aisément avec CID une fois homogénéisé : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=205183&ml=1 . Pour la réécriture sous forme de somme de carrés, c'est trop gros pour moi, un polynôme du 12ème degré une fois tout développé :doh:

[Nightmare]

Surement cela te passera quand tu verras que tu n'utiliseras plus jamais ces inégalités de ta vie :lol3:

[Anonyme]

Salut à vous deux !

Dites moi, si vous planchez sur autant d'exercice du type "inégalité à prouver", c'est pour le plaisir ou (/et) pour préparer les olympiades?

Perso je commence a découvrir les inégalités (reordonnement+ chebyshev) et jusque la j'aime bien mais je ne sais pas si je vais continuer a apprécier ..

Tout ce que je fais en maths c'est pour le plaisir et pas pour les olympiades d'ailleurs dans mon pays il n'y a pas d'olympiades nationales et pas d'equipes pour les OIM

[benekire2]

Surement cela te passera quand tu verras que tu n'utiliseras plus jamais ces inégalités de ta vie :lol3:

Après, ça dépend lesquelles, il y en a toujours qui servent. Genre CS ( Chebychev aussi ? )
Bien sûr on peut apprécier résoudre les inégalités sans que ce soit "utile" dans les maths.
en tout cas personnellement je préfère passer mon temps sur d'autres types d'exos.

[Anonyme]

Pour revenir un peu a mon post initial je crois que mon erreur a été de considérer que si
P(x,y,z)>=Q(x,y,z) alors le minimum de P(x,y,z) coïncide avec l’égalité.

C'est bien ça ?

[Olympus]

Pour revenir un peu a mon post initial je crois que mon erreur a été de considérer que si
P(x,y,z)>=Q(x,y,z) alors le minimum de P(x,y,z) coïncide avec l’égalité.

C'est bien ça ?

Oui . En fait cela n'a aucun sens . Si le cas d'égalité est x=y=z, alors P(x;x;x)=Q(x;x;x) . Mais il faudrait que Q(x;y;z) >= Q(x;x;x) pour que tu puisses conclure .

[poiuytreza]

Salut à vous deux !

Dites moi, si vous planchez sur autant d'exercice du type "inégalité à prouver", c'est pour le plaisir ou (/et) pour préparer les olympiades?

Parce que je sais qu'à l'époque ou je préparais les olympiades académiques, après 2 ou 3 inégalités de ce type à montrer, j'en avais déjà marre de ce genre d'exercice qu'on a, à mon goût, aucun plaisir à résoudre... C'est d'ailleurs en parti ce qui m'a complètement retiré l'envie de passer les olympiades nationales.

Tout à fait d'accord, c'est loin d'être le plus marrant. Je trouve qu'il y a pas mal de "méthodes standards" (genre Muirhead, les multiplicateurs de Lagrange et toutes les autres horreurs qu'on peut trouver sur Mathlinks...) qui marchent sans vraiment réfléchir, ce qui fait que c'est assez rassurant au début. J'aimais bien les inégalités quand j'ai commencé les maths olymiques, mais maintenant je trouve aussi que ça a souvent peu d'intérêt, et c'est loin d'être les exos les plus jolis.
Par contre, renoncer à des olympiades simplement par peur des inégalités, je trouve ça un peu bête, d'autant que c'est loin de tomber tous les ans aux IMO, et à peu près inexistant partout ailleurs. Après, si il y avait d'autres raisons...

[sniperamine]

avant au lycée les mathématiques se basaient un peu sur tout ce qui est technique donc on se servait de pas mal d'inégalités mais bon après le bac on se rend compte que les maths c'est toute une théorie ;)

[Olympus]

avant au lycée les mathématiques se basaient un peu sur tout ce qui est technique donc on se servait de pas mal d'inégalités mais bon après le bac on se rend compte que les maths c'est toute une théorie

Dans l'ancien programme, les inégalités style olympiades étaient faites en ... seconde ( tronc commun ) :we:

Exemples :

.

.

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etc... de simples applications d'AM-GM, mais l'important c'est que ce genre d'inégalités était au programme ( on rappellait que x²+y² >= 2xy, mais rien de plus ) :we: