Maximum Loi binomiale

[Terkaza]

Bonjour,

Je joue à un jeu qui donc comme beaucoup a la fonction de "drop" après avoir tué un ennemi. En l’occurrence c'est souvent un objet convoité lorsque la probabilité est faible. Bon c'est parti pour définir tout ça :

On considère qu'à chaque fois que l'on tue un monstre il y a comme une épreuve de Bernoulli. Tuer plus de monstres n'affectant pas la probabilité de "drop", ces événements sont donc indépendants.

Soit X la variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre ( n , p ) avec n le nombre de monstres tués et p la probabilité de faire tomber l'objet, le succès étant le "drop" de l'objet et l'échec étant le "non-drop" de l'objet.

Les bases étant posées, voici ma question : Peut-on prouver que lorsque n = k/p la probabilité P(X=k) est maximale ?
En français, cela voudrait dire qu'en connaissant la quantité de fois que l'on veut "drop" l'objet et la probabilité du "drop", on peut calculer la valeur sur laquelle est centrée la fonction de masse (aussi là ou elle est maximale).

Un exemple que je trouve bien plus facile à comprendre serait de dire qu'on lance une pièce (équilibrée), autant de fois qu'il le faut, mais on compte le nombre de fois que l'on fait pile. Dès que l'on a fais 10 fois pile on s'arrête. Je pense que si beaucoup de gens répètent cette expérience et note à chaque fois le nombre d'essais que cela leur a pris, la moyenne tendra vers 20. (10*1/0.5).

Car il y en aura qui y arriveront en moins de 20 essais, d'autres en plus de 20 essais, mais on constatera (et comme toujours c'est encore mieux si on répète ca énormément) que le nombre d'essais ou le plus de gens sont concentrés est 20.

Bon, je sais que j'ai pas l'habitude d'être clair, donc vous pouvez passer aux maths :
Si vous avez un trou, la fonction de masse d'une loi binomiale (et donc aussi équivalente à P(X=k)) est
En gros je cherche les variations de ça en fonction de n, et trouver que le point critique est en k/p. Le problème c'est que je ne sais pas dériver un factoriel, et encore moins un quotient de factoriel...

Merci si quelqu'un trouve une solution simple !

[aviateur]

Bonjour
C'est clair que tu n'es pas clair.
Pour l'exemple de la pièce de monnaie, l'espérance mathématique est exactement 20. Intuitivement on peut le deviner mais ça se calcule. Donc là ça va.
Mais si on revient à ta variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, on se demande ce que tu appelles point critique.

[Terkaza]

Si l'on arrivait à dériver la fonction de masse en fonction de n, on pourrait chercher les points ou celle-ci s'annule. Avec ces points critiques et son signe on aurait la position du maximum de la fonction de masse. Indiquant pour quelle valeur de n P(X=k) est maximale en connaissant k et p. Et je suggère que c'est quelque chose comme n = k/p. Si p = 0.5 et on veut faire face 50 fois EXACTEMENT en étant le plus certain possible, il faudrait faire selon moi 100 essais, car dans le cas ou n=100 et p=0.5, P(X=50) est supérieure à toutes les autres P(X=k'). Mais du coup cela implique de savoir dériver cette fonction de masse.

[Lostounet]

Salut,

Moi non plus je ne comprends pas tout de l'explication. Je pense que la statistique pourrait t'aider.

Si par exemple tu joues à un jeu où le monstre a une probabilité p de "drop" un objet rare, en général toi en tant que joueur tu ne la connais pas.
Il existe des méthodes statistiques qui permettent d'estimer cette probabilité: ce que tu sembles appeler "n=k/p" me rappelle la méthode du maximum de vraisemblance (Maximum Likelihood Estimator).

Cette méthode permet d'avoir une idée de la valeur de la probabilité p: elle est d'autant meilleure que l'échantillon est grand (tu peux tuer par exemple 10000 monstres et voir combien de drop tu obtiens... on peut formaliser ça pour trouver une bonne estimation de la valeur de p).

Une fois tu auras approximé le phénomène par un bon modèle binomial B(n,p), tu pourras calculer l'espérance (donc avoir une idée pratique de combien de drop rare tu auras si tu tues par exemple n monstres)


La méthode consiste donc à trouver où la valeur "p" a la plus grande chance de se trouver. Que ce soit clair: n ne varie pas (On a déjà tué n monstres). On fait varier p.

Tu dois donc former la fonction de vraisemblance pour trouver son extremum, ce qui donne quelque chose comme L(p,k)= p^k (1-p)^(n-k)
Où n est un entier fixé et où le coefficient binomial n'apparait pas (c'est une constante qui n'influence pas les extrema).

On peut maximiser la log-vraisemblance:

Ln(L(p,k))= k*ln(p) + (n-k) ln(1-p)

On dérive par rapport à p:
= k/p - (n-k)/(1-p)

Ce qui veut dire que c'est égal à 0 lorsque
k/p - (n-k)/(1-p)=0

Donc: k(1-p)-(n-k)p=0

Donc k-np=0

Alors p=k/n


Bon dans le cas binomial cela n'a rien de surprenant.

[aviateur]

J'ai pas vu le message précédent mais la conclusion semble la même:
Bonjour
Dériver ce que tu appelle la fonction de masse c'est pas clair car ta fonction n'est pas une fonction au sens classique mais une distribution. Une distribution ça se dérive mais...
Par contre je ne sais pas si cela peut t'aider mais sous certaines conditions une variable X suivant une loi B(n,p) peut s'approcher par une v.a Y suivant la loi normale
Et la densité de loi normale est maximale en y=np. Donc on rejoint la même réponse que ci-dessus

[Terkaza]

Une fois tu auras approximé le phénomène par un bon modèle binomial B(n,p), tu pourras calculer l'espérance (donc avoir une idée pratique de combien de drop rare tu auras si tu tues par exemple n monstres)

Par contre je ne sais pas si cela peut t'aider mais sous certaines conditions une variable X suivant une loi B(n,p) peut s'approcher par une v.a Y suivant la loi normale
Et la densité de loi normale est maximale en y=np.

Merci d'avoir mentionné l'espérance, car en fait c'est ce que j'appelai maximum : la fonction de masse est effectivement centrée sur l'espérance, et on sait bien que celle-ci vaut np pour une loi binomiale. Et en plus avec le rapprochement avec une loi normale ça devient assez évident.

On peut maximiser la log-vraisemblance:

Ln(L(p,k))= k*ln(p) + (n-k) ln(1-p)

On dérive par rapport à p:
= k/p - (n-k)/(1-p)

Ce qui veut dire que c'est égal à 0 lorsque
k/p - (n-k)/(1-p)=0

Donc: k(1-p)-(n-k)p=0

Donc k-np=0

Alors p=k/n

Je ne sais pas si tu l'as édité, mais l'autre moitié de ton message vient d'apparaître, et donc tu as prouvé ce que je voulais, vu qu'on peut intervertir n et p.

Ce n'est pas vraiment que je fais varier n, c'est que cela permet de savoir en combien d'essais on est le plus sûr d'avoir exactement notre nombre de succès k si on a p. Si je sais que p = 1/66 par exemple on peut alors dire qu'il y a 1/2 de "drop" au moins 1 fois avant d'avoir atteint les 1*(1/66)= 66 essais, et qu'il y a 1/2 de ne pas l'avoir "drop", donc de l'avoir avec plus d'essais que 66. La loi normale permet de bien comprendre cet aspect.

Le but était de savoir si l'on pouvait intuitivement calculer le nombre de monstres à tuer pour avoir une bonne chance de "drop" l'objet (k=1). Ici si on prend la loi normale on peut même faire pour avoir une probabilité de 0.95 ou 0.99.

Merci de m'avoir guidé sur les notions (et le calcul) qui traduisaient ce que je cherchais, je pense que c'est bon !

[LB2]

Bonjour à tous,

en fait, cela dépend de ton nombre d'essais.
Si ton drop est un évènement rare, mais que tu fais beaucoup d'essais, tu peux modéliser ton phénomène par une loi normale de paramètre (moyenne = np et variance = np(1-p) ).
Dans l'hypothèse où le nombre d'essais n>30, np>5 et n(1-p)>5.

Si ton drop est un évènement très très rare, tu peux modéliser par une loi de Poisson de paramètre lambda = np.

Ta question sur la loi binomiale est intéressante, mais si le paramètre n'est pas p=1/2 (une pièce biaisée, par exemple) la distribution est légèrement asymétrique, mais en pratique considérer que le maximum est atteint en np n'est pas trop faux...

Cordialement

[Ben314]

Salut,
Si ce que tu cherche, c'est la valeur maximale des pour et fixé, , c'est très simple vu qu'il suffit de chercher quand est-ce que :

Donc la suite est croissante puis décroissante et son maximum est atteint lorsque est égal à la partie entière de (ainsi que pour si est entier).
A noter que, cette valeur est assez proche de la moyenne des qui, elle, vaut .