Matrice binomiale

[Ben314]

Salut,
Un petit "défi" archi classique :
On considère la matrice où est le coefficient binomial (et, bien sûr, si )
Montrer que est inversible et déterminer son inverse.

Le résultat (et la preuve) est extrèmement simple et, est un petit "challenge" pour ceux qui débutent en algèbre linéaire.
Pour les "un peu plus fort" pour lesquels le résultat est "évident", pouvez vous trouver une deuxième preuve légèrement différente (mais au fond pas tant que ça...)

[girdav]

Bonjour,
je crois que je connais ce classique.
Histoire de "relancer" le débat sur l'édition des messages, je crois que si et alors la matrice est de taille .

[Nightmare]

Bon j'ai une preuve mais surement pas celle attendue puisque j'intuite d'abord la forme de l'inverse avant de montrer que la matrice est inversible. Attends-tu une méthode "astucieuse" sur le calcul du déterminant?

[Ben314]

Bon j'ai une preuve mais surement pas celle attendue puisque j'intuite d'abord la forme de l'inverse avant de montrer que la matrice est inversible. Attends-tu une méthode "astucieuse" sur le calcul du déterminant?

Ben, concernant le déterminant, vu que la matrice est triangulaire avec des 1 dans la diagonale, je sais pas si y'a vraiment besoin d'astuces pour le calculer...

Sinon, la réponse que j'attend ne demande pas "d'intuiter" l'inverse mais bien de la trouver directement (une ligne)

Sinon, effectivement, la matrice est (n+1)x(n+1) et... on a dépassé les 10 minutes fatidiques...
Et, pour les "débutants", c'est peut être mieux de raisonner avec la transposée de cette matrice...

[Matt_01]

Réflechir à l'endomorphisme de correspondant, ce serait pour les "un peu plus fort" ou non ?

[Nightmare]

Ben > Désolé, je n'ai pas fait l'exercice avec la bonne matrice. Cela dit, avec la bonne cette fois-ci, j'ai effectivement l'inverse au bout d'une ligne en utilisant , je trouve que la matrice inverse est la matrice des (est des 0 pour i > j)

[Ben314]

Ben > Désolé, je n'ai pas fait l'exercice avec la bonne matrice. Cela dit, avec la bonne cette fois-ci, j'ai effectivement l'inverse au bout d'une ligne en utilisant , je trouve que la matrice inverse est la matrice des (est des 0 pour i > j)

OUI, mais la méthode "Matt_01" ne demande... aucun calculs (bien sûr il faut connaitre la formule du binôme de Newton)

Réflechir à l'endomorphisme de correspondant, ce serait pour les "un peu plus fort" ou non ?

OUI, c'est la méthode "en une ligne" qui ne demande aucun calculs (ou presque).
L'autre à laquelle je pense est au fond presque la même, (mais c'est pas totalement évident à première vue) : on peut trouver l'inverse en utilisant des exponentielles de matrices...

[benekire2]

C'est donc un "défi" tout taillé pour moi Ben ?

Au final je trouve 1 , j'ai simplement soustrait la (k+1) ème ligne a la k ème .. puis j'ai trouvé une relation de récurrence simple en développant par rapport à la première colonne.

Je m'attendais a un truc plus tordu au final, je cherche l'autre méthode , :happy3:

PS. ( Ouf je suis dans les "10minutes où il faut être" ) Pour la méthode de Matt, j'y ai réfléchis, mais au final une fois passé a "la machine binome de newton" et que on pose la questions sous la forme : Montrer que la famille de polynôme .... est libre , perso vous faites comment pour le prouver ? Conclusion : Pour moi c'est pas une "nouvelle méthode" ... ou alors je me plante !

[benekire2]

IL faut oublier la fin de mon PS du dernier message ... satané édition ! :ptdr:

[Ben314]

C'est donc un "défi" tout taillé pour moi Ben ?

Au final je trouve 1 , j'ai simplement soustrait la (k+1) ème ligne a la k ème .. puis j'ai trouvé une relation de récurrence simple en développant par rapport à la première colonne.

Je m'attendais a un truc plus tordu au final, je cherche l'autre méthode , :happy3:

PS. ( Ouf je suis dans les "10minutes où il faut être" ) Pour la méthode de Matt, j'y ai réfléchis, mais au final une fois passé a "la machine binome de newton" et que on pose la questions sous la forme : Montrer que la famille de polynôme .... est libre , perso vous faites comment pour le prouver ? Conclusion : Pour moi c'est pas une "nouvelle méthode" ... ou alors je me plante !

Regarde la matrice (ou plutôt sa transposée) comme celle d'un endomorphisme de R_n[X] écrite dans la base 1,X,X²,...X^n
C'est quoi l'image de 1, de X, de X², de X^3 ...

[Nightmare]

OUI, mais la méthode "Matt_01" ne demande... aucun calculs (bien sûr il faut connaitre la formule du binôme de Newton)

Effectivement, c'est encore plus simple comme ça !

[benekire2]

Ben >> Oui oui j'ai répondu juste après mon message (comme je pouvais plus éditer ) , et par contre je m'aperçois que j'ai fais l'exo avec la mauvaise patrice. Cela dit ça ne change pas grand chose puisque effectivement avec celle de l'exo c'est une triangluaire avec des sur la diagonale ..

[Ben314]

Sinon, l'autre truc "un peu marrant", c'est que si on considère la matrice T entièrement nulle sauf juste en dessus (ou au dessous) de la diagonale où on met 1 2 3 ... n alors la matrice A est l'exponentielle de T, c'est à dire
A=exp(T)=I+T+1/2!T^2+1/3!T^3+...
donc A est inversible d'inverse
A^-1=exp(-T)=I-T+1/2!T^2-1/3!T^3+...

Mais, en fait, c'est un peu pareil que le fait de voir que A est, dans Rn[X] muni de la base cannonique, la matrice de P(X)->P(X+1)
Car, toujours dans ce même Rn[X], la matrice de T correspond à la dérivation P->P' et on sait que
P(X+1)=P(X)+P'(X)+1/2!P"(X)+1/3!P"'(X)...

[benekire2]

Je connais pas les exponentielles de matrices mais j'ai l'impression qu'on les défini par le développement en série de exp ... en tout cas c'est intéressant de voir que le problème recouvre plusieurs "formes" ,