[Défi] Majoration de Pi - Méthode moderne

[Zweig]

Bonsoir,

On connaît depuis l'Antiquité l'inégalité suivante . Le but de cet exercice est de la démontrer en utilisant des outils modernes.

J'ai fait exprès de ne pas donner d'indications pour l'avant-dernière question qui est, selon moi, la plus délicate. N'hésitez pas à en demander si vous séchez trop !

https://docs.google.com/fileview?id=0BzWeX07v5H01ODAxOGI2MzMtN2Y2Ni00NThmLWI5M2YtZGM1Mzg4MDk1MzI0&hl=fr

Enjoy ! :++:

[Olympus]

Salut !

Euh j'ai "Sorry, the page (or document) you have requested is not available." moi ^^"

[Zweig]

Réessaye pour voir ...

[Olympus]

Voilà ça marche :)

[benekire2]

C'est bizarre de te voir faire un pdf aussi "facile" sur le début ?
Bon exercice :id: ; mais une question :

Pourquoi n'as tu pas privilégié un résultat méconnu des lycéens à savoir , dériver une bijection réciproque ? Ce qui aurait été possible ici.

Une autre question ; comment tu arrive à ne pas avoir d'alinéas sous lyx et en quel "mode" est - tu , merci :zen:

[La dernière question m'intéresse beaucoup beaucoup!!]

[Ben314]

Salut,
Une petite suggestion consernant la fonction arctangente :

Plutot que d'écrire :
(pour quels x est-ce valable ?)

Il me semblerait quand même plus "carré-carré" d'écrire :
- La fonction est définie sur et, pour tout , on a
- La fontion est définie sur et, uniquement pour , on a

[ffpower]

Pour le calcul de l'intégrale, il est censé y avoir une astuce ou faut développer comme un gros sagouin?

[benekire2]

Si zweig a proposé cette intégrale c'est qu'il doit certainement y avoir une méthode élégante. Après moi j'ai bourriné comme un sagouin :zen:

[Lostounet]

J'ai une question: Pourquoi vouloir démontrer une telle inégalité, puisqu'elle est évidente :triste:

On pourrait suivre un peu les quelques chiffres de pi pour se rendre compte que pi < 22/7 :mur:
pi <21.992/7 aussi :id:

[Ben314]

Oui, mais tu fait comment pour les calculer les chiffres de pi ?

Si tu me répond "avec la machine" alors je change la question en :
Elle fait comment la machine pour trouver les décimales de pi ?

Si tu me répond (à juste titre) : elle le sait par coeur, on lui a mis dans la mémoire "tel quel" à la fabrication, dans ce cas je (re) change la question en :
Le type qui a mis les décimales de pi dans la machine, il les as calculées comment ?

etc...

P.S. Ceux qui trouvent que c'est un peu con de n'avoir qu'une majoration de Pi peuvent, dans le même ordre d'idée, calculer

P.S.2 Et ceux qui trouvent que c'est trop simple peuvent chercher comment calculer le plus rapidement possible les quotient () tel que :

Perso, j'ai pas trouvé...

[Lostounet]

Oui, mais tu fait comment pour les calculer les chiffres de pi ?

Si tu me répond "avec la machine" alors je change la question en :
Elle fait comment la machine pour trouver les décimales de pi ?

Si tu me répond (à juste titre) : elle le sait par coeur, on lui a mis dans la mémoire "tel quel" à la fabrication, dans ce cas je (re) change la question en :
Le type qui a mis les décimales de pi dans la machine, il les as calculées comment ?

etc...

:zen: Ah.
Heu! Je dirais que.. pi est le rapport entre circonférence et diamètre. C'est une constante! - C'est comme ça qu'elle l'a calculé :hein:

[benekire2]

non tu n'as rien calculé du tout là ... t'as simplement dit ce que c'était, nuance !!

[benekire2]

P.S.2 Et ceux qui trouvent que c'est trop simple peuvent chercher comment calculer le plus rapidement possible les quotient () tel que :

Perso, j'ai pas trouvé...

Je viens juste de calculer I, et j'ai ou un truc dans le genre ...

Pour le PS2 ... aie :hum:

[ffpower]

Ben après tu mesure ça avec un metre :)

[ffpower]

Sinon, perso, je préfere la méthode utilisant le développement de arctan. Elle permet plus facilement d'aller plus loin dans la précision de l'approximation et reste elle aussi accessible au niveau terminale ( et accessoirement donne des zolies formules )..

[benekire2]

la quelle avec les arctan , me semble qu'il y en a un paquet avec les arctan ...

[Ben314]

Je viens juste de calculer I, et j'ai ou un truc dans le genre ...

oui, c'est plutôt "un truc dans le genre" vu que 1979/315 = 6.28 qui n'est pas génial comme approximation...

Pour les arctan, tu part de 1/(1-q)=1+q+q²+q^3... (pour -1 artcan(x)=pi/6) c'est nettement plus rapide.

Sinon, pour diminuer la taille du x, une méthode standard est d'utiliser
Arctan(a)+Arctan(b)=Arctan( (a+b)/(1-ab) )
qui te dit par exemple que
Pi/4=Arctan(1)=Arctan(1/2)+Arctan(1/3)
et tu évalue les deux arctan à l'aide de la formule (1)

Il y a des tas d'autre façons de "couper" pi/4=Arctan(1)=... pour en déduire des suites qui convergent relativement vite vers pi.

(mais les méthodes les plus rapides connues sont encore de nature différentes : elles partent de l'étude de la moyenne arithmético-géométriqe de deux réels...)

[benekire2]

ouais, les algos les plus rapide sont a convergence quartique voire quintique il me semble et là ça dépote !

[Le_chat]

C'est vraiment une belle intégrale :
nous donne une approximation de pi si p est pair, et de 2ln(2) si p est impair.

J'ai voulu m'intéresser à la vitesse de convergence...
Alors en gros: j'ai appliqué Cauchy Schwarz:

;).

La première intégrale est constante en fonction de p, et vaut environ 0.33 (la flemme de calculer à la main...) Et la seconde vaut exactement...Du coup on obtient une convergence assez moyenne dès que p est grand.

[Zweig]

Pourquoi n'as tu pas privilégié un résultat méconnu des lycéens à savoir , dériver une bijection réciproque ? Ce qui aurait été possible ici.

Bah c'est ce que j'ai fait ... cf la question sur la dérivée de , d'où l'intérêt du I.

Une autre question ; comment tu arrive à ne pas avoir d'alinéas sous lyx et en quel "mode" est - tu , merci

Tu cliques sur l'icôné à droite de l'icône "ab" dans la barre d'outils et tu cliques sur le bouton "à gauche"

Ben314 > Exact, merci pour la rigueur ^^

ffpower > Non, je n'ai pas trouvé d'astuce ... Donc j'y suis allé comme un bourrin ^^ Si quelqu'un a une autre méthode, je suis preneur ...

Je viens juste de calculer I, et j'ai ou un truc dans le genre ...

Le calcul de l'intégrale donne exactement