[résolue] La longueur mystere

[Patastronch]

Voila tout est la !

[Nightmare]

Bonjour

Assez connue. Avec pythagore plusieur fois, on arrive à ses fins

:happy3:
Jord

[Patastronch]

Désolé mais pythagore ne suffit pas.

[Anonyme]

Désolé mais le dessin porte a confusion, peux tu nous en fournir un qui soit plus precis ? merci

[Alpha]

Oui, je vois difficilement comment Pythagore pourrait suffir. Mais, personnellement, je ne serais pas surpris qu'il y ait une formule d'Al-Kashi à utiliser...

[Patastronch]

Désolé mais le dessin porte a confusion, peux tu nous en fournir un qui soit plus precis ? merci

a = DC, mais meme si l ambiguité etait d'etre AC le probleme resterait le meme.
Le but est bien entendu de déterminer la veleur de a.

[Alpha]

Je crois avoir trouvé. Il n'y a pas d'Al-Kashi, en fait, mais Pythagore et Thalès.

Je nomme x la distance DH, où H est le projeté orthogonal de D sur AB. J'applique Pythagore au triangle BEC, puis au triangle ABC, puis Thalès aux triangles ADH et ABC, et enfin je fais des considérations d'aire. Je finis mes calculs et j'arrive :happy3: .

[Patastronch]

En effet tu sembles avoir trouvé :lol4:

[Alpha]

Oui, j'ai trouvé :happy: , mais les calculs sont un peu compliqués... J'essaie de m'en dépatouiller, et j'arrive...

[Alpha]

Bon, finalement, comme les calculs sont assez compliqués, je vais dire comment il faut faire, et puis je laisserai aux plus courageux d'entre vous, et surtout à ceux qui disposent de plus de temps que moi, le soin de résoudre l'équation finale.

J'applique Pythagore au triangle CBE, je trouve CE.
Ensuite, Pythagore au triangle ABC, j'obtiens AB en fonction de a, donc AE en fonction de a. Ensuite, avec Thalès aux triangles ADH et ACB, j'ai x=DH en fonction de a.

Ensuite, il ne me reste plus qu'à appliquer le fait que

l'aire du triangle ABC est égale à

AB*BC/2, mais aussi à l'aire du triangle CBE plus celle du triangle CDE plus celle du triangle ADE, aires que je peux toutes exprimer en fonction de a, d'après les raisonnements que j'ai faits précédemment.

J'obtiens une équation en a avec des racines carrées, bref, là, je dois quitter l'ordi, malheureusement, mais si le coeur vous en dit, résolvez-la, ou donnez le tout à un logiciel de calcul formel...

Cordialement

[scelerat]

Oui, j'ai trouvé :happy: , mais les calculs sont un peu compliqués... J'essaie de m'en dépatouiller, et j'arrive...

Il me semble qu'une fois qu'on a eu l'idee d'introduire H, ce n'est plus si complique.
Les triangles DEH et EBC sont semblables, donc DE = 2DH.
Posons AC = y = 1+a.
DH/CB = 1/y
Or CB = racine(3)/2 (hauteur d'un triangle equilateral)
donc DE = 2CB/y = racine(3)/y
Pythagore dans DEC nous donne 3/y^2 + 1 = (y-1)^2
3 + y^2 = y^4 -2y^3 + y^2
y^4 - 2y^3 - 3 = 0
J'utilise le theoreme de Saint-Cyr (Tout polynome de degre > 2 qu'on nous demande
d'annuler admet 1 ou -1 comme racine)
(y+1)(y^3-3y^2+3y-3) = 0
Je pose y = 1+a, et il me reste a^3 - 2 = 0, que je sais resoudre.

[Patastronch]

Bon cette fois elle est totalement résolue.

[Alpha]

Hé oui! C'est le genre de petite énigme qui fait bien plaisir, comme on les aime! Et puis, dans ce genre d'énigme, on est vraiment content quand on trouve un fil conducteur, car dans une énigme, aucun fil n'est donné, il n'y a pas de questions intermédiaires.

Alors quand on trouve le fil conducteur, le bon, alors en général, on sent que c'est le bon. J'ai assez vite pensé à faire des considérations d'aire pour pouvoir trouver une équation en a, et alors introduire H s'est naturellement imposé à moi. Et là, j'ai senti que ça devait être bon...

C'est pour ça qu'on aime les maths! Certes, parfois, c'est désespérant : on cherche, on cherche, on ne voit rien. Et puis, souvent, une fois que l'on a bien compris le problème, la lumière jaillit d'un coup : on a trouvé le fil conducteur! Et alors, on poursuit sur notre lancée... Et on trouve.

J'ai envie de le dire haut et fort (surtout après un message dans une autre partie du forum dans lequel un intervenant semblait dénigrer les maths) :

J'AIME LES MATHS!

:happy: