Logique conviviale

[becirj]

Une soirée réunit 13 couples. Après le dîner, l'une des convives s'ennuie et demande aux 25 autres personnes combien elles ont serré de mains à leur arrivée. Elle obtient 25 réponses différentes.

Question : Quelle a donc été la réponse de son mari ?

Bien sûr :
- personne ne serre plus d'une fois la main de ses amis ;
- personne ne serre sa propre main ;
- personne ne serre la main de son conjoint.

[André]

Chaque individu, ne pouvant serrer sa propre main ou celle de son conjoint, ne peut serrer que 0, 1, ..., 23 ou 24 mains : il n'y a donc que 25 possiblités. Comme il y a 25 réponses différentes, ces réponses sont donc 0, 1, ..., 23 et 24.

Notons I(n) (0 <= n <= 24) l'individu interrogé qui a serré n mains.
Notons C la convive qui pose la question.
I(24) a logiquement serré les mains de tous ceux qui ont serré au moins une main (I(n) avec 0 < n < 24 et peut-être C) sauf celle de la personne I(0) qui n'en a serrée aucune (I(24) a donc serré la main de C pour faire 24 mains serrées). I(0) et I(24) sont donc conjoints. I(0) et I(24) ne sont donc pas le conjoint de C.

Le conjoint de C est donc un I(n) avec 0 < n < 24 : I(1), ..., I(23).

Mais I(23), qui a serré la main de I(24), a donc serré la main de 22 autres individus qui ont serré la main de I(24) parmi I(1), ..., I(22) ou C. Mais I(1) a déjà serré la main de I(24) et n'a donc pas serré la main de I(23) (I(23) a donc serré la main de C pour faire 23 mains serrées). I(1) et I(23) sont donc conjoints. I(1) et I(23) ne sont donc pas le conjoint de C.

Le conjoint de C est donc un I(n) avec 1 < n < 23 : I(2), ..., I(22).

Une telle logique répétée de façon récursive aboutit à dire que seul I(12) peut être le conjoint de C.

La réponse est donc 12 !

[Patastronch]

Chaque individu, ne pouvant serrer sa propre main ou celle de son conjoint, ne peut serrer que 0, 1, ..., 23 ou 24 mains : il n'y a donc que 25 possiblités. Comme il y a 25 réponses différentes, ces réponses sont donc 0, 1, ..., 23 et 24.

Notons I(n) (0 <= n <= 24) l'individu interrogé qui a serré n mains.
Notons C la convive qui pose la question.
I(24) a logiquement serré les mains de tous ceux qui ont serré au moins une main (I(n) avec 0 < n < 24 et peut-être C) sauf celle de la personne I(0) qui n'en a serrée aucune (I(24) a donc serré la main de C pour faire 24 mains serrées). I(0) et I(24) sont donc conjoints. I(0) et I(24) ne sont donc pas le conjoint de C.

Le conjoint de C est donc un I(n) avec 0 < n < 24 : I(1), ..., I(23).

Mais I(23), qui a serré la main de I(24), a donc serré la main de 22 autres individus qui ont serré la main de I(24) parmi I(1), ..., I(22) ou C. Mais I(1) a déjà serré la main de I(24) et n'a donc pas serré la main de I(23) (I(23) a donc serré la main de C pour faire 23 mains serrées). I(1) et I(23) sont donc conjoints. I(1) et I(23) ne sont donc pas le conjoint de C.

Le conjoint de C est donc un I(n) avec 1 < n < 23 : I(2), ..., I(22).

Une telle logique répétée de façon récursive aboutit à dire que seul I(12) peut être le conjoint de C.

La réponse est donc 12 !

oui mais il te reste a prouver que C n'est pas un I(n) avec n different de 12.
Pour demontrer ca : C a entendu que des réponses différentes.
Si C avait ete I(n) avec n different de 12,alors elle aurait entendu deux reponses 12.
Or ce n'est pas le cas donc elle est l'un des deux I(12) et son conjoint et l'autre I(12).