Limite Bernoulli_n(n)/n^n ?

[MClerc]

Bonjour,

Au cours d'une étude d'optimisation, je constate expérimentalement que la quantité suivante
B_n(n)/n^n (désolé, sous mon Firefox 54.0 le bouton « Insérer dans la zone de texte » de l'éditeur d'équation ne fonctionne pas)
semble converger vers environ 0,58 quand n tend vers l'infini.

B_n(x) étant la valeur en x du polynôme de Bernoulli de degré n.

D'où les questions :
-Est-ce qu'il y a vraiment convergence ? Si oui, vers quelle valeur ?
- Sinon, peut-on quand même dire « quelque chose » sur le comportement à l'infini de cette quantité ? Oscillation, par exemple ?

Merci d'avance pour toute idée constructive.

P.S.
J'ai bien trouvé le document suivant, mais les formules approchées de B_n(x) pour x grand ne sont précisément pas valables pour x entier :

P. Appel, Sur les valeurs approchées des polynômes de Bernoulli, Nouvelles annales de mathématiques 3 e série, tome 6
(1887), p. 547-554

[Archytas]

Salut,
Je te conseille d'aller jeter un oeil ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber
Avec "relation avec les polynômes de Bernoulli" & l'énoncé de la formule tu devrais pouvoir trouver ton bonheur je pense !

[Viko]

Salut,

Pour moi la fonction que tu étudies n'a pas de limite, considère la relation suivante :

Et tu verras c'est évident !
Bonne soirée

[MClerc]

Salut,
Je te conseille d'aller jeter un oeil ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber
Avec "relation avec les polynômes de Bernoulli" & l'énoncé de la formule tu devrais pouvoir trouver ton bonheur je pense !

Merci, mais c'est précisément en utilisant une variante de la formule de Faulhaber que j'ai calculé la quantité dont je cherche la limite.

[MClerc]

Salut,

Pour moi la fonction que tu étudies n'a pas de limite, considère la relation suivante :

Et tu verras c'est évident !
Bonne soirée

La quantité dont je cherche la limite est et non .