Limaçon

[chan79]

On considère la fonction de dans définie par

Démontrer que l'image par du cercle trigonométrique est un limaçon de Pascal.

Un limaçon de Pascal a une équation polaire de la forme avec a et e réels strictement positifs

[jlb]

On considère la fonction de dans définie par

Démontrer que l'image par du cercle trigonométrique est un limaçon de Pascal.

Un limaçon de Pascal a une équation polaire de la forme avec a et e réels strictement positifs

Salut Chan, pas de succes pour ton défi!!!
Bon, j'ai cherché mais je ne suis pas doué!! J'ai représenté ton ensemble sur Xcas, cela a bien la tête d'un limaçon ( forme avec boucle!!)
J'ai posé z=e^(it) et travaillé sur f(e^(it))

| f(e^(it))|² = 2(1+cos(t)| et , du coup, après quelques calculs, j'obtiens et je ne vois pas comment terminer!!

[Ben314]

Si avec alors

Avec (car ) et .
BILAN :

L'astuce (si on peut dire) consistant à factoriser dans l'expression où est la moyenne des arguments des deux trucs provient d'une considération géométrique : si tu ajoute deux complexes z1, z2 alors 0, z1, z1+z2, z2 est un un parallélogramme, mais, si de plus z1 et z2 ont même module, c'est même un losange donc la droite (0,z1+z2) est une bissectrice des droites (O,z1) et (O,z2) donc l'angle qu'elle fait avec l'axe des x est la moyenne des angles que font les droites (O,z1) et (O,z2) avec ce même axe (attention ensuite au fait que l'argument, c'est pas un angle de droite, mais un angle entre demi droites)

[Ben314]

Si avec alors

Avec (car ) et .
BILAN :

L'astuce (si on peut dire) consistant à factoriser dans l'expression où est la moyenne des arguments des deux trucs provient d'une considération géométrique : si tu ajoute deux complexes z1, z2 alors 0, z1, z1+z2, z2 est un un parallélogramme, mais, si de plus z1 et z2 ont même module, c'est même un losange donc la droite (0,z1+z2) est une bissectrice des droites (O,z1) et (O,z2) donc l'angle qu'elle fait avec l'axe des x est la moyenne des angles que font les droites (O,z1) et (O,z2) avec ce même axe (attention ensuite au fait que l'argument, c'est pas un angle de droite, mais un angle entre demi droites)

[jlb]

Si avec alors

Avec (car ) et .
BILAN :

L'astuce (si on peut dire) consistant à factoriser dans l'expression où est la moyenne des arguments des deux trucs provient d'une considération géométrique : si tu ajoute deux complexes z1, z2 alors 0, z1, z1+z2, z2 est un un parallélogramme, mais, si de plus z1 et z2 ont même module, c'est même un losange donc la droite (0,z1+z2) est une bissectrice des droites (O,z1) et (O,z2) donc l'angle qu'elle fait avec l'axe des x est la moyenne des angles que font les droites (O,z1) et (O,z2) avec ce même axe (attention ensuite au fait que l'argument, c'est pas un angle de droite, mais un angle entre demi droites)

Bonjour, ok (je vais retenir cette astuce, merci!), mais comment obtiens-tu la forme demandée par Chan avec a et e réels strictement positifs?

[DamX]

BILAN :

hello,

On tombe là dessus naturellement mais ce n'est pas une équation de limaçon.

Après avoir cru à une boulette d'énoncé, je pense que c'est un peu plus sioux que ça, et que ça aurait plus sa place dans les "énigmes" que dans les défis, et je proposerais "", j'ai bon Chan ?

Si c'est bien ça j'en dis pas plus pour laisser les autres chercher.

Damien

[Ben314]

Bonjour, ok (je vais retenir cette astuce, merci!), mais comment obtiens-tu la forme demandée par Chan avec a et e réels strictement positifs?

Chan n'a jamais dit que le limaçon était "centré" en 0 (i.e. que les équations polaires dont il parles sont centrées en 0...)

[DamX]

Chan n'a jamais dit que le limaçon était "centré" en 0 (i.e. que les équations polaires dont il parles sont centrées en 0...)

ah donc tu as trouvé aussi

[jlb]

Chan n'a jamais dit que le limaçon était "centré" en 0 (i.e. que les équations polaires dont il parles sont centrées en 0...)

Donc du coup, en effectuant un bon changement de repère, on doit trouver à partir de ta forme une expression de la forme demandée par Chan?
Je n'ai jamais travaillé cela ( chgt de repère en polaire), je vais tenter de comprendre ce que cela donne.
Et du coup, à partir de ce que j'avais trouvé, cela doit également fonctionner!!

Après, l'énoncé semblait clair pour moi: "montrer que cela a cette tête là".
Je ne suis pas doué, ce n'est pas évident pour moi que la forme que tu as donnée fournit ensuite la solution!!

[chan79]

Donc du coup, en effectuant un bon changement de repère, on doit trouver à partir de ta forme une expression de la forme demandée par Chan?
Je n'ai jamais travaillé cela ( chgt de repère en polaire), je vais tenter de comprendre ce que cela donne.
Et du coup, à partir de ce que j'avais trouvé, cela doit également fonctionner!!

Après, l'énoncé semblait clair pour moi: "montrer que cela a cette tête là".
Je ne suis pas doué, ce n'est pas évident pour moi que la forme que tu as donnée fournit ensuite la solution!!

salut à tous
geogebra donne le lieu de z'=z²+z quand z varie.
on devine le changement de repère à faire.

[DamX]

avec juste un papier et un crayon c'était plus technique pour trouver le repère.

Bon du coup :

on note que le f du conjugué est égal au conjugué de f, et comme le cercle unité est symétrique, donc la figure est symétrique également par rapport à l'axe Ox, tout comme le limaçon, ce qui implique que si changement de repère il y a, il est uniquement par translation sur l'axe Ox.

Du coup, on pose un deuxième repère x'=x+x0 et y'=y dans lequel on veut voir si la figure peut s'exprimer (pour pas réutiliser r et theta qui sont pour le repère d'origin).

On cherche trois points qui vont nécessairement coller pour trouver les coeffs, theta/alpha = 0, theta/alpha = pi

ce qui donne a+bcos(0) = x0+f(e(i0)) donc
a+b = x0+2
de même
a-b = -x0 avec la valeur en pi

donc on a a = 1 puis b = x0+1.

Il manque un troisième point, j'ai tenté avec theta = pi/2, on a f(i) = -1+i, de coordonnées x0-1+i dans l'autre repère qu'il faut exprimer en polaire

On a et

en injectant ça dans et en remplaçant b par x0+1, on a un trinôme en x0 qui propose deux solutions possible : 1 et 7/3.

Par flemme et en se disant que la solution doit être simple, j'ai d'abord testé x0=1.
donc ce qui voudrait dire que l'équation est

pour le vérifier, on repart de

on repasse en cartésien puis dans le nouveau repère et où les coordonnées de ce point sont :



et on a bien sûr et

On veut vérifier que , ce qui revient donc à vérifier que


et bien on a en développant
En utilisant l'identité , on récupère [TEX}\rho = (4cos^2(\theta/2)-1)^2
ce qui permet de retrouver que et conclut l'affaire.

lol la couleur anti-spoiler ne s'applique pas aux équations, tant pis..

[jlb]

salut à tous
geogebra donne le lieu de z'=z²+z quand z varie.
on devine le changement de repère à faire.

Bonjour Chan, quand tu dis "geogebra donne le lieu de z'=z²+z quand z varie.": tu peux me fournir les commandes à utiliser si ce n'est pas trop contraignant?
Je suis capable d'obtenir le limaçon à partir de sa définition géométrique ( définir le cercle trigo, un point mobile sur ce cercle, la droite reliant ce point et (-1,0) et définir les points d'intersection de cette droite avec le cercle de centre le point mobile et de rayon 1 puis commande lieu) mais si cela est possible à partir de l'expression z²+z, je n'en savais rien.
Merci.

[Ben314]

Ca me semble... bien long...
Une fois qu'on a vu qu'il fallait prendre comme centre -1, il suffit d'écrire que

Donc du coup, en effectuant un bon changement de repère, on doit trouver à partir de ta forme une expression de la forme demandée par Chan?

Non, c'est une mauvaise idée : connaissant les coordonnées polaire dans un repère centré en O, c'est archi. la m... d'en déduire les coordonnées polaires dans un repère centré en un autre point : on a nettement intérêt à revenir à l'équation de départ.
Donc ici, il faut trouver le centre C d'affixe c tel que la formule soit "simple" en polaire et un peu d'astuce (ou mieux, un dessin) montre que le choix judicieux est c=-1.

[DamX]

Ca me semble... bien long...
Une fois qu'on a vu qu'il fallait prendre comme centre -1, il suffit d'écrire que

euh .. du coup je dois louper quelque chose mais je suis un peu perplexe là.

parce que la coordonnée de f(z) dans le nouveau repère c'est bien avec theta l'angle dans le repère d'origine qui permet de décrire le cercle unité et on veut bien arriver à avec alpha l'angle/l'argument de ce complexe dans le nouveau repère, sauf que theta et alpha n'ont rien à voir en théorie... non ? C'est pour ça que je me suis embêté à exprimer l'argument du point image dans le nouveau repère.

EDIT : ok on s'en tape, tant qu'on tombe sur une forme re^{ix} qu'elle que soit la manière d'où on la sort, c'est qu'on est en polaire, point final :mur:

[Ben314]

En fait, ça peut être effectivement un peu perturbant au niveau des calculs que l'angle theta (qui est l'angle du point du cercle trigo dans le repère centré en 0) soit le même que alpha (qui est est l'angle du point d'arrivé dans le repère centré en -1)
Et, comme par hasard :zen: c'est justement ce que chan a mis en valeur sur son dessin...

[chan79]

Voilà ce que j'avais écrit:



Les coordonnées de z' dans le nouveau repère (origine(-1,0))

sont

et le point d'affixe z' décrit donc la courbe d'équation polaire