Ligne droite et courbe de peano

[Doraki]

T'es sûr que tu confonds pas "f remplit le carré", avec "la suite (fn) remplit le carré" ? (quoi que "remplir" veuille dire)
Encore une fois, la courbe de Peano c'est f, donc si tu veux parler de la courbe de Peano, il faut parler de f, pas de la suite (fn).

[nodjim]

Je distingue bien ....maintenant, oui.
Mais alors, où se situe ce moment où, d'un coup, f remplit le carré ? Car à chaque fn, la surface occupée est nulle, et, à la fin (?) ça remplit le carré.
C'est très étrange comme idée.

[Doraki]

C'est pas la suite fn qui remplit le carré, c'est f.
f, qui ne change jamais et qui est toujours f.

Elle est une fractale : bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.

Ca c'est parceque la courbe de Peano est autosimilaire.
f sur [0;1/4], c'est la même chose que f/2 sur [0;1] via une isométrie.
f sur [0;1/16], c'est la même chose que f/4 sur [0;1] etc
Le nombre ln(4)/ln(2) = ln(16)/ln(4) vaut 2, et ce nombre s'appelle la dimension de la fractale.

[Galax]

Ma question est surement triviale, mais en quoi une fonction qui ferait par exemple :
;);););)
;)
;);););)
puis
;);););)
;);););)
;);););)
etc..., avec de plus en plus "d'aller-retour" ne conviendrait pas pour remplir le carré tout en étant continue ?

[ffpower]

Ta suite de fonctions risque fort de pas converger, Galax

Sinon, pour construire une telle courbe, qui remplit le carré, on peut aussi faire une version "escalier de Cantor" : A un élément x du Cantor, donc qui s'écrit en base 3 : ... avec ou , on associe . g est une surjection continue du cantor dans [0,1]², et on la prolonge à [0,1] par exemple par raccords affines.

Celle là n'a pas vraiment de propriétés d'autosimilarité, n'est probablement pas holderienne contrairement à la courbe de Peano, en revanche elle est dérivable presque partout.. et un autre avantage est qu'on peut très facilement adapter le procédé pour remplir l'espace, voire plus ( même } ). Bref ça peut donner une autre vision de courbe remplissant le plan. Mais on remarque quand même que les 2 courbes ont le point commun d'être très moches ( sans blague? :ptdr: )

[nodjim]

C'est pas la suite fn qui remplit le carré, c'est f.
f, qui ne change jamais et qui est toujours f.

Ca c'est parceque la courbe de Peano est autosimilaire.
f sur [0;1/4], c'est la même chose que f/2 sur [0;1] via une isométrie.
f sur [0;1/16], c'est la même chose que f/4 sur [0;1] etc
Le nombre ln(4)/ln(2) = ln(16)/ln(4) vaut 2, et ce nombre s'appelle la dimension de la fractale.

C'est bon. J'aurais dû regarder comment est construite f avant de regarder la courbe. f remplit le carré ss on se sert au préalable de l'ensemble infini des nombres réels. Ensuite vient la magie du bon positionnement des x et y pour la construction de la courbe. Du coup, ça parait évident ce que tu m'as dit. Et c'est normal qu'on remplisse le carré. Mais bon, maintenant, c'est pratiquement inconstructible, puisqu'il faut se servir de tous les réels pour que ça marche, et comme il y en a une infinité....Ne serait ce que trouver le 1er point origine de la courbe, on peut se lever de bonne heure!

Ce Peano était vraiment un malin. Car, je le redis, aussi séduisante que soit cette construction, elle est ..inconstructible pour remplir complètement le carré!

[ffpower]

En même temps ça veut dire quoi construire. Tracer au crayon? auquel cas même un simple trait est "inconstructible"

[emcee]

@Ben314 :

j'iaimerais formaliser le "paradoxe" 2=racine(2) que tu cites.
- j'imagine qu'on prend une suite de fonctions du genre fn(x) = plancher(nx) / n
- les fn tendent vers la fonction identité (qqch comme : pour tout epsilon, il existe n tq pour tout x abs(fn(x)-x)- mais après ? tu ne peux pas calculer la longueur de la courbe de fn qui est discontinue en tout k/n ?

[nodjim]

En même temps ça veut dire quoi construire. Tracer au crayon? auquel cas même un simple trait est "inconstructible"

Plus j'y réfléchis, et plus je suis convaincu que la courbe de Peano ne marche pas. Je m'explique.
La démo part d'une suite de nombres réels écrite en base 3 de la forme 0, a1a2..an et c'est à partir de cette suite qu'on construit le couple (x,y). Ensuite , on dit, il suffit de prendre tous les réels et on arrivera à couvrir le plan. C'est à partir de là que je ne suis plus d'accord. C'est quoi prendre tous les réels ? On n'arrive même pas à écrire le 1er nb après le zéro. Mais je vais tout de même tenter une écriture:
un nombre de longueur infinie, on pourrait l'écrire:
0, suite fixe infinie, fin variable.
par exemple 0, 0003000...000 0
Le dernier 0 peut alors être incrémenté à 1, puis 2, ....
Comme l'intervalle infini ne peut être réduit, entre le 1er nombre et le nombre n (0,000300..00 n) la différence est strictement nulle. Autrement dit, on n'a rien fait, on n'a pas couvert le moindre mm².
En plus il n'y a aucun lien possible entre 2 nombres de "suite fixe infinie", on ne peut les raccorder ensemble.
0,0003000...000 n n'atteindra jamais 0,0004000...000 0.

J'admets que c'est une écriture bizarre, mais je n'ai pas d'autre moyen pour écrire un nombre infini qui s'accorde avec la fonction de Peano.

[ffpower]

Qu'essaies tu de prouver ? ( j'ai rien compris à ta dernière démo, même pas l'énoncé.. )

[nodjim]

La fonction est visible ici:
http://www.maths-forum.com/ligne-courbe-peano-113495.php
C'est à partir d'elle que je développe mon argument.

[nodjim]

La fonction est visible ici:
http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peano.shtml
C'est à partir d'elle que je développe mon argument.

[ffpower]

Je ne sais malgré tout toujours pas ce que tu veux prouver : qu'est-ce qui est censé "ne pas marcher"? A un réel de [0,1], on associe un couple de réels, dans [0,1]². On vérifie que ça définit une fonction continue, et qu'en plus elle est surjective. Ou est le problème?

[nodjim]

Je me contente de regarder comment est fabriquée la fonction. On se sert de chacun des chiffres des nombres réels successifs. Je demande alors comment on peut faire avec un nombre réel qui a une infinité de chiffres dans son écriture. Comment tu ferais toi ?

[Doraki]

ça veut dire quoi, "premier nombre après le 0" ???

Tu penses quoi de la fonction f : [0,1] -> [0,1]² où
on écrit x en base 2 ou 3 ou ce que tu veux, x = 0.a1a2a3a4a5....
et f(x) = le couple (0.a1a3a5a7... , 0.a2a4a6a8...)

Elle est certes pas continue mais elle est surjective, oui ?

La courbe de peano c'est juste une variante de ce principe mais qui en plus donne une fonction continue.

[nodjim]

Le premier nombre réel qui suit le zéro pourrait s'écrire:
0,00...000001. Il y a une infinité de zéros entre la virgule et le 1.
Je ne sais même pas si je peux me donner le droit d'écrire de cette façon.

[Doraki]

Je croyais que Q était dense dans R

[nodjim]

C'est pas vraiment là que je bute.
0.0...01 puis 0.0...02 puis 0.0...0n tous des nombres avec une infinité de zéros. n peut il être assez grand pour que (0.0..0n) -(0.0..01) soit différent de 0 ?

[Doraki]

C'est quoi ta construction de R préférée, pour qu'on t'explique que tes nombres là ils existent pas.

[nodjim]

Par exemple les nombres entiers qu'on écrit avec 1 zéro et 1 vigule en tête.