Ligne droite et courbe de peano

[nodjim]

Bonsoir à tous.
Deux questions axiomatiques sur la ligne telle qu'elle est conçue en mathématique.
La description que j'ai fait là est une approche strictement géométrique.
En math, la ligne est cet objet imaginaire qu'on dessine symboliquement par un trait fin. Euclide la décrit comme aussi longue que l'on veut et sans largeur. Partant de là, je serais tenté de dire:
Si on voulait regarder de plus près, et qu'on dispose d'un zoom performant, on serait curieux d'aller zoomer sur une partie: on verrait alors la même chose, un trait qui ne s'est pas épaissi d'un mm. Si on extrait un petit segment, aussi court qu'un point visible, et qu'on zoome, on retrouvera un trait toujours aussi fin. Il est impossible de distinguer les pts de la ligne. Si on veut regarder le segment par le bout, on verrait un point. Si on voulait zoomer sur le point, on n'arriverait pas à l'agrandir, le point resterait de même taille.

En fait, on pourrait aussi bien ne pas la dessiner, car l'infiniment petit n'est pas observable.

La ligne droite: Si on se recule très loin et qu'on regarde la même ligne, on verra toujours le caractère rectiligne. La propriété de la droite ne change pas.

Je voudrais maintenant savoir si la géométrie non euclidienne n'est pas en contradiction avec cette vision. Dire que 2 lignes se rejoignent à l'infini n'est ce pas reconnaitre que la ligne droite n'est finalement pas si droite que ça ?

On dit qu'une courbe de Péano peut passer par tous les pts d'un carré: Une surface n'est pas seulement un assemblage de points. A l'instar de la ligne, si on zoome sur une portion du plan, on ne verra jamais rien. la question est donc: une courbe peut passer par tous les points d'un plan est elle équivalente à dire: une courbe peut remplir ce plan ?. ça me semble complètement contradictoire d'exprimer en une seule phrase 2 choses qui ont la même signification.

Ou bien faut il admettre une fois pour toutes que seules les formules sont vraies et qu'il faut laisser tomber toute tentative d'explication intuitive ?

Merci d'avance pour votre contribution.

[Doraki]

Ou bien faut il admettre une fois pour toutes que seules les formules sont vraies et qu'il faut laisser tomber toute tentative d'explication intuitive ?

Tu tiens le bon bout.
Même si l'intuition n'est pas complètement à jeter dans la majorité des cas.
En maths, les preuves, c'est avec des définitions, des formules et des règles, pas avec de l'intuition.

Les formules et les règles, personne ne peut te dire de trucs comme "là t'as appliqué une règle qui n'existe pas". Une machine peut vérifier les preuves.

Alors que l'intuition, ça se formalise pas, tu peux tomber sur quelqu'un qui comprend pas ton intuition et là il n'y a rien à faire.

[nodjim]

D'accord, d'accord.
Donc un montage bien solide indique qu'une courbe remplit un plan. Bon, mais ça veut dire quoi exactement ? Quand je remplis un verre d'eau, je vois bien que ça se remplit. Alors c'est bien cette idée, avec cette courbe, on l'allonge, on l'allonge (du moins ce que laisse penser le dessin) et petit à petit on recouvre le plan ? C'est bien ça ? Ou c'est seulement un abus de langage et que c'est plus nuancé ?

[Doraki]

Bah c'est une fonction de [0;1] dans [0;1]² continue et surjective.
Il n'y a pas tellement de moyen de la "dessiner". En tout cas je vois pas de quoi tu parles avec "le dessin".

A part en disant des trucs comme "pour x dans [0;1/4], la fonction "remplit" le carré [0;1/2]*[0;1/2]."
Et ce pour des intervalles plus en plus petits.


Après ptetre que toi ce que tu appelles courbe c'est pas une fonction continue mais une sous-variété de R² de dimension 1.

[nodjim]

Pour le dessin, c'est la courbe fractale qu'on voit sur Wiki. Le début du texte:

"Une courbe de Peano est une fonction continue sur l'intervalle [0, 1], surjective dans le carré [0, 1] x [0, 1], c'est-à-dire que la courbe passe par chaque point du carré. Elle est une fractale : bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2. Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire."

Cette description signifie t elle pour autant qu'elle couvre le carré entièrement ?

[ffpower]

ben c'est la définition de surjective non?

[nodjim]

Encore d'accord. Bon, maintenant, si elle remplit le carré, on le voit à chaque itération, la courbe "de dim 2" s'étend. Pourrait on alors tenter de connaitre le "taux de remplissage" à chaque itération, ou au bout de n itérations. par exemple 10^10 itérations ?

[Doraki]

C'est pas parcequ'une suite de fonctions fn converge vers une fonction f que c'est forcément une bonne idée d'étudier les propriétés de fn pour étudier les propriétés de f.

Le taux de remplissage, ce serait une propriété de la suite fn.
La fonction f existe indépendamment de la suite fn, et je vois pas le rapport entre le taux de remplissage des fn et la fonction f.

[nodjim]

D'accord avec toi, mais comme f existe, on peut tout de même s'interroger sur la performance de fn. En a t on une idée ? Je ne vois pas trop comment on pourrait s'y prendre. Je rappelle que f est célèbre justement pour sa capacité à "remplir" le plan. Quoique le texte ne dit pas que la courbe remplit le plan, elle dit qu'elle passe par tous les points. J' y distingue une nuance. Je ne sais pas trop encore ce qui me gêne. Faut il comprendre que le remplissage n'aura lieu qu'au bout d'une éternité ?

[Doraki]

on pourrait dire un truc genre pour tout ;)>0 il existe n tel que pour tout x dans [0;1]² il existe y dans [0;1] tel que |x -fn(y)| < ;).
Je te laisse chercher n en fonction de ;), mais tout ça ne nous dit rien sur f.

Moi je fais pas de différence entre "f remplit le carré" et "f est surjective".
Si tu "sens" une nuance, donne-moi ta définition/interprétation de "f remplit le carré", et sans faire intervenir fn s'il te plaît.
Je vois pas ce que le temps a à faire dans l'histoire.

[nodjim]

En fait, je vois pas trop bien en quoi la courbe Peano est plus performante que par exemple tracer des segments de droites parallèles. On a beau avoir prouvé que c'est surjectif, ça ne me gêne pas, ça me semble assez normal, mais bon, c'est pas forcément exceptionnel, en quoi cette courbe est elle spéciale ? Comprends tu mieux ce qui me chagrine ?

[Ben314]

Tu peut effectivement "remplir" beaucoup plus simplement à l'aide d'une infinité de segments (par exemple horizontaux) et tu peut même arriver à paramétrer l'ensemble de tout ces segments à l'aid d'un seul paramètre t dans [0,1] MAIS, le résultat que tu obtient dans ce cas là n'est pas continu.
Ce qui rende la courbe de Peano spéciale, c'est qu'elle "remplie le carré" ET est continue.

Si tu enlève la continuité, le résultat devient "banal" : on sait même qu'il existe des bijections de l'intervalle [0,1] dans le carré [0,1]² mais aucune n'est continue (la courbe de Péano est surjective, mais n'est pas injective : elle passe plusieurs fois au même endroit).

Concernant les fonctions fn, elles permettent (un peu) de voir quelle "tête" à la fonction f, mais il est parfaitement possible de définir la fonction f sans parler des fonctions fn.

[nodjim]

D'accord. Je voudrais être sûr, la fonction f est un peu l'algo général de la fractale, et fn est la représentation au bout de n itérations, c'est bien ça ?

[Nightmare]

Hello,

préciser aussi qu'une courbe de Peano n'est dérivable en aucun point, et comme l'a dit je sais plus qui je ne sais plus où (je crois que c'est toi Ben), l'idée qu'on se fait de la notion de "courbe" correspond au minimum à une fonction dérivable (voir C^1). Du coup, se "faire une idée " de la courbe de Peano même en "zoomant" est vain.

[nodjim]

Hello,

préciser aussi qu'une courbe de Peano n'est dérivable en aucun point, et comme l'a dit je sais plus qui je ne sais plus où (je crois que c'est toi Ben), l'idée qu'on se fait de la notion de "courbe" correspond au minimum à une fonction dérivable (voir C^1). Du coup, se "faire une idée" la courbe de Peano même en "zoomant" est vain.

Non, non, le zoom ne m'intéresse pas ici. Je m'intéresse seulement à ce qu'on entend par le mot "remplissage" du plan.

[nodjim]

on pourrait dire un truc genre pour tout >0 il existe n tel que pour tout x dans [0;1]² il existe y dans [0;1] tel que |x -fn(y)| < .

D'accord. Mais ce qui tu écris ne se traduit pas (encore) en terme de surface.

[Ben314]

D'accord. Mais ce qui tu écris ne se traduit pas (encore) en terme de surface.

Si tu raisonne en terme de "surface" alors c'est trés simple : chacune des fonctions fn "occupe" une surface nulle du carré [0,1]² alors que la limite f occupe "tout le carré", c'est à dire une surface égale à 1.
Cela n'a rien de trés surprenant : il y a de nombreuse propriétés des suites de fonctions qui ne se transmettent pas à la limite, la plus plus visuelle est sans doute celle de longueur de la courbe : tu n'as jamais vu le "paradoxe" 2=racine(2) que l'on obtient en approchant de plus en plus la diagonale d'un carré par des suites de segments horizontaux et verticaux ?

Aprés, en ce qui concerne le mot "remplissage", c'est on ne plus "carré-carré" : la courbe est surjective, ce qui signifie qu'elle passe au moins une fois par chaque point du carré.
Il n'y a pas le début d'une "arnaque" de ce coté là.
Aprés, ce que dit Nightmare est aussi interessant au niveau "compréhension" de la courbe : elle n'est dérivable nulle part et, en fait, la vitesse de parcours (au sens scalaire, c'est à dire en Km/h et pas en vecteur) est infini tout le temps (c'est pas étonant si on réfléchi un peu : pour passer par tout les points du carré, il vaut mieux ne pas perdre de temps à se trainer à des vitesses finies... :ptdr: )

[Doraki]

Hmmm on peut dire en mettant des unités de temps et de longueur, (f : [0s ; 1s] -> [0m ; 1m]²) que la courbe remplit le carré à une vitesse constante de 1 m² par seconde.

(pour tout segment de longueur t de [0s ; 1s], l'image de ce segment par f est un bout du carré de surface t * 1m²/s)

[nodjim]

C'est bien exactement ce que j'ai compris, et tu le confirmes. Chaque fn a une surface nulle, quel que soit n, et pourtant la limite est la surface complète. Or, habituellement, dans les itérations, on s'approche de la limite, même si on ne l'atteint jamais. Et ici, on reste désespérément à 0 ...tout le temps! D'où ma réserve à user ici du terme de remplissage, car on ne remplit jamais rien, au fond. Et donc aller donner à f la dim 2, pourquoi pas, mais c'est , à mon sens, un drôle d'abus de langage.

[nodjim]

tu n'as jamais vu le "paradoxe" 2=racine(2) que l'on obtient en approchant de plus en plus la diagonale d'un carré par des suites de segments horizontaux et verticaux ?

Oui je connais, mais celle là n'est pas paradoxale: Si on zoome (j'aime bien zoomer) on voit l'arnaque!