Lieu

[yos]

.là on peux y aller à l'analytique? Rien ne lui résiste

Donne toujours.

[nodgim]

En traçant depuis C une droite reliant les milieux des QM en Q', et depuis B une droite reliant les milieux de PM en P', les quadrilatères MP'IQ' sont des parallélogrammes. Après, il faut faire du Thalès en veux tu en voilà. En faisant se promener M en dehors du triangle, mais toujours sur BC, ça donne 2 pyramides à sommet commun qui est un segment. Mais bon, ça ne donne pas l'équation de la droite.

[acoustica]

Donne toujours.

Attention, c'est moche. :dodo:

Je travaille dans un repère non orthonormal et les vecteurs ne sont pas unitaires: ce repère est (A,AB,AC).
B(1,0)
C(0,1)
BC(-1,1), BM(-x,x) par colinéarité, et avec x entre 0 et 1.
xM-1=-x
yM-0=x
donc M(1-x,x).
P sur le segment AB: P(a,0), exprimons a en fonction de x. BP(a-1,0) et MP(a+x-1,0)
BP.MP=0
d'où (a-1)(a+x-1)=0.
Dans le cas où a =/= 1, a=1-x.
Par symétrie, pour Q(0,b), b=1-x.
Donc I((1-x)/2,(1-x)/2).

I décrit une portion de la droite y=x.
Les deux extrémités du segment parcouru (et le cas a=1 par la même occasion) s'obtiennent pour M en B et M en C (ça, ça reste à prouver quand même). La continuité permet de dire que ce segment est pleinement parcouru.

Le truc qui m'inquiète, c'est que on ne retrouve pas ce résultat quand le triangle est rectangle. :hum:

[yos]

Attention, c'est moche.

Si c'était que ça! C'est surtout faux.
Une piste : AB.AC=0 donc bizarre non?

[nodgim]

En traçant depuis C une droite reliant les milieux des QM en Q', et depuis B une droite reliant les milieux de PM en P', les quadrilatères MP'IQ' sont des parallélogrammes. Après, il faut faire du Thalès en veux tu en voilà. En faisant se promener M en dehors du triangle, mais toujours sur BC, ça donne 2 pyramides à sommet commun qui est un segment. Mais bon, ça ne donne pas l'équation de la droite.

En plus, entre les 2 pyramides, quand M est entre B et C, on peut voir un curieux volume à 4 faces triangulaires, 6 arêtes et 4 sommets!
Pardon pour cette digression qui éloigne du sujet, c'est juste pour la beauté du dessin. :we:

[acoustica]

Si c'était que ça! C'est surtout faux.
Une piste : AB.AC=0 donc bizarre non?

Hum...je ne trouve pas mon erreur. Le raisonnement est bon non? Alors où est la kouènerie?

[Imod]

Dans un repère qui n'est pas orthonormal il faut se méfier de ses vieux réflexes :hum: , décompose tes vecteurs dans la base que tu as choisi et regarde ce que donne le produit scalaire .

Personnellement j'ai commencé à regarder la fonction M -> I étendue au plan tout entier est-elle affine ? Si oui c'est fini .

Imod

[acoustica]

Dans un repère qui n'est pas orthonormal il faut se méfier de ses vieux réflexes :hum: , décompose tes vecteurs dans la base que tu as choisi et regarde ce que donne le produit scalaire .

Personnellement j'ai commencé à regarder la fonction M -> I étendue au plan tout entier est-elle affine ? Si oui c'est fini .

Imod

lol j'ai compris, c'est le coup des vecteurs orthogonaux qui ne va pas.

Euh...alors il ne reste pas grand chose de bon, et on peux pas changer grand chose. :triste:

[Doraki]

Personnellement j'ai commencé à regarder la fonction M -> I étendue au plan tout entier est-elle affine ? Si oui c'est fini .

Ben oui elle est affine.
C'est une combinaison linéaire des 2 projections, qui sont affines.

[yos]

Le mot "orthogonal" dans l'énoncé est là pour brouiller les pistes on dirait.D'ailleurs ça a marché. On peut projeter sur (AB) et (AC) selon des directions arbitraires.

OK, c'est donc fini. On peut l'écrire pour des petits :
M=tB+(1-t)C
Conservation du barycentre :
P=tB+(1-t)C' et Q=tB'+(1-t)C
I=tB+(1-t)C' +tB'+(1-t)C=2tE+(2-2t)F où E et F sont les milieux de [BB'] et [CC'].
I décrit (EF).

[acoustica]

Le mot "orthogonal" dans l'énoncé est là pour brouiller les pistes on dirait.D'ailleurs ça a marché. On peut projeter sur (AB) et (AC) selon des directions arbitraires.

OK, c'est donc fini. On peut l'écrire pour des petits :
M=tB+(1-t)C
Conservation du barycentre :
P=tB+(1-t)C' et Q=tB'+(1-t)C
I=tB+(1-t)C' +tB'+(1-t)C=2tE+(2-2t)F où E et F sont les milieux de [BB'] et [CC'].
I décrit (EF).

C'est quoi B' et C'?

[yos]

C'est quoi B' et C'?

Les projetés de B et C sur (AC) et (AB) respectivement (ou pieds des hauteurs si on garde l'énoncé initial avec projection "orthogonale")
Bref le lieu est la droite qui passe par les milieux des hauteurs issues de B et C.