Les suites de Bainmont-Kadett-Yapuka

[nodgim]

Bonsoir à tous.
Ces suites peu connues se fabriquent de la manière suivante:
On prend un entier quelconque N. On le décompose en son produit de nombres premiers. On concatène ces nombres premiers du plus petit au plus grand pour former un nouveau nombre, et on recommence.

Exemple: N=36=2*2*3*3 on garde 2 et 3, qui donne 23. Comme 23 est premier, la suite est terminée.

Conjecture: toutes les suites sont des ensembles finis.

Quelqu'un pourra t il le prouver ou trouver un contre exemple ?
Bon amusement

[skilveg]

Salut,

Je doute qu'une preuve de cette conjecture existe...

En partant de 326, j'arrive rapidement à des nombres de l'ordre de , sans redescendre. Bien sûr, ça ne prouve rien, ni dans un sens ni dans l'autre!

J'ai l'impression que le "bon amusement" est du même tonneau que le nom de la suite, je me trompe?

[nodgim]

J'ai l'impression que le "bon amusement" est du même tonneau que le nom de la suite, je me trompe?

Juste! :ptdr:

[skilveg]

Ça me rappelle le coup du "on définit par récurrence avec , est-ce que tous les termes de la suite sont entiers?"... sauf que là il y a une preuve

Sinon, je pense que vu le "peu de structure" du problème, ça m'étonnerait qu'il en existe une solution! C'est vraiment un problème ouvert ou pas?

[nodgim]

C'est un problème tout ce qu'il y a de plus ouvert, il vient de sortir de mon imagination.
On peut toujours tenter de répondre, ou du moins d'en cerner une tendance, en faisant une étude de proba.
Dans le même genre, la conjecture de Kimberling n'est pas mal non plus...

[skilveg]

Bonsoir,

J'ai un argument complètement heuristique qui irait dans le sens de "la conjecture est presque toujours vraie".

Si on note (resp. ) le nombre de facteurs premiers distincts de (resp. le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicités), on a quand tend vers l'infini. Du coup, si est la moyenne des facteurs premiers de , on a en gros , d'où et le nombre de chiffres de est en gros . Par conséquent, la fonction de la suite transforme en un truc de l'ordre de , soit environ .

Si on croit ce raisonnement, ça veut dire que pour assez grand, . Encore plus heuristiquement, ça voudrait dire que "la plupart" des suites qu'on considère sont bornées (et donc décrivent un ensemble fini, et en fait finissent même par boucler).

Bon, ce n'est pas très convaincant, ça ne prouve rien et ça ne donne même pas d'idée pour la conjecture en général, mais ça donne plutôt envie de croire que la conjecture est vraie. Après, ce qui se passe pour 326 ne va pas vraiment dans le même sens...