Les rois et les sujets

[kosh75]

Bonjour à tous,

J’aimerais vous présenter une expérience de pensée, un paradoxe sur l’infini que j’ai conceptualisé… mais qui existe peut-être déjà sous une autre forme depuis des décennies (en sciences, philosophie et mathématiques, on peut souvent avoir l’impression d’inventer quelque chose alors qu’il n’en est rien).

A mon sens ça reprend un peu les bases de l’hôtel de Hillberg. Un peu seulement.

Voici donc mon histoire…

Nous sommes dans un univers infini.
Un univers composé d’une infinité de systèmes solaires, qui chacun possède ces caractéristiques :

. Différentes planètes, totalisant 100 milliards de sujets.
. Une toute petite planète, composée d’un seul être, qui est le roi du système solaire.

Chaque roi gouverne le système solaire qu’il habite. Bien entendu, son pouvoir et ses privilèges sont innombrables, tandis que ses sujets ont tous une existence assez ingrate.

L’univers est gouvernée par un dieu ayant décidé que toute personne qui décède se réincarne en être humain. En toute logique, chaque personne qui décède se réincarne donc soit en sujet, soit en roi, quelque part dans cet univers infini (à ce stade, les chances de se réincarner quelque part dans son propre système solaire sont mathématiquement nulles).

Lorsqu’une personne décède, pour décider de sa prochaine incarnation, le protocole est toujours le même. Dieu a devant lui la totalité des chiffres, de 1 à l’infini. Les 100 premiers milliards de chiffres correspondent à des réincarnations en tant que sujets, le 100 milliard unième correspond à une réincarnation en tant que roi… et ainsi de suite à l’infini.
Dieu ferme les yeux et pose son doigt au hasard sur un chiffre, ce qui décide de l’incarnation de la personne à venir.

Et ainsi, en permanence et à l’infini pour tout décédé.

Les sujets sont moroses ! Chacun sait qu’il n’a jamais qu’une chance sur 100 milliards (et un) de devenir roi lors de sa prochaine incarnation.

L’archange numéro 1 de Dieu souhaite leur redonner le moral. Mais comment faire ? Dieu ne souhaite rien changer aux données de son système.

Pourtant, l’archange parvient à convaincre son maître de modifier un ordre tout en respectant ses règles.

Il se dit : « si dans cette « ligne infinie du hasard » chaque réincarnation-sujet est numérotée ainsi, il suffit de faire une bijection en numérotant différemment. Dorénavant, chaque réincarnation-roi portera un nombre impair (1, 3, 5, 7… à l’infini) et chaque réincarnation-sujet un nombre pair (2, 4, 6, 8… à l’infini). »

Ainsi, Dieu, désormais, a toujours devant lui la totalité des nombres existants, mais à présent tout chiffre impair correspond à une réincarnation-roi, tout chiffre pair à une réincarnation-sujet.

Les sujets reprennent goût à la vie : pensez, chacun vient de passer à une chance sur 100 milliards de devenir roi à… une chance sur 2 !

L’archange, constatant qu’avec l’infini et les bijections les possibilités sont justement illimitées, décide d’aller encore plus loin.
Il décide que dans l’ensemble des nombres, chaque réincarnation-sujet portera un numéro multiple de 100 milliards, et chaque réincarnation-roi portera… un numéro non multiple de 100 milliards.
Ainsi, désormais, les choses se sont inversées : chaque sujet qui meurt à 100 milliards de chances de devenir roi, et seulement 1 seule et unique chance de devenir sujet.

Nous avons 2 infinis dénombrables (infinité de sujets / infinité de rois). Ce type de bijections est donc possible quels que soient les chiffres. Il pourrait y avoir tout aussi bien dans chaque système solaire 10 puissance 100 milliards de milliards de sujets pour un seul et unique roi…
Et pourtant, lors d’un décès, que la personne ait 10 puissance 100 milliards de milliards de chances de devenir roi, et seulement un seul et unique risque de devenir sujet.

J’en ai parlé à un mathématicien, ancien prof de math sup math spé, qui y a longtemps réfléchi, puis en a pas mal débattu avec un codeur :–)
La conclusion du mathématicien est que ce n’est qu’un paradoxe apparent, qu’en réalité il n’y en a pas.
La conclusion du codeur est que les données du problème ne sont pas correctes.
Ma conclusion perso : le paradoxe est réel. Il ne présente pas de « couacs » mathématiques, pas d’erreurs. Autrement dit si un tel univers existait réellement, l’opération de l’archange fonctionnerait réellement. Mais le paradoxe reste pour moi entier, car avec des mêmes données on peut changer radicalement les probabilités.

Qu’en pensez-vous ?

Je ne prétends rien apporter d’incroyable, simplement je n’avais jamais vu, à ma connaissance, d’expérience de pensée de ce type (qui s’appuie bien entendu sur des mécanismes connus) et j’aimerais avoir vos impressions et analyses.

[ijkl]

Bonjour

pardon mais à la lecture j'ai l'impression que pour vous 10^ 100 milliard est un grand nombre(et pourtant ce nombre est ridiculement petit dans l'ensemble des entiers naturels N)

J'ai pas trop compris comment se désigne le fait d'être roi

bon là je vais au lit (en fait j'ai pas sommeil mais c'est pas une raison de ne pas y aller non plus : j'ai envie d'y aller point barre) mais si au delà du nombre de 100 milliards ou de 10^100 milliards on est roi j'ai l'impression que devenir roi est encore plus facile que de devenir un sujet et que les rois n'auront jamais assez de sujets

[hdci]

Bonjour,
Le paradoxe n'est qu'apparent, comme le dit ijkl les nombres entiers sont ridiculement petit (et même négligeable) devant l'infini, même lorsqu'il sont égaux à plusieurs milliards puissance plusieurs milliards.

Ce type de "paradoxe" rejoint celui des hôtels de Hilbert : l'hôtel est infini, il est complet, et pourtant quand un quidam arrive on décale tout le monde d'une chambre et il trouve une place.
Arrive alors un bus lui aussi infini, l'hôtel est toujours complet mais on envoie tous ses occupants dans la chambre dont le numéro est le double de celle qu'il occupe, et on fait entrer les voyageurs du bus dans les chambres imparis, tout le monde a une place.
Alors arrive une infinité de bus infinis : du coup en comptant l'hôtel comme le bus numéro zéro, on fait entrer tout le monde en lui assignant a chambre où i est le n° du bus et j le rang du voyageur dans le bus.
On peut continuer avec une infinité d'infinité de bus.. Il y aura toujours un moyen de trouver une place (tant que les infinis manipulés ne sont pas indénombrables).

Paradoxe ou pas ? Apparemment paradoxe, mais mathématiqueent non, car c'est la différence entre la manipulation du fini, à laquelle nous sommes habitués, et de l'infini, qui n'existe pas dans notre univers perceptible (certains disent que le "gogol", ce fameux nombre dont s'est emparé un moteur de recherche pour en faire son nom, et qui est égal à 10 puissance 100, est supérieur à tout ce qu'on peut dénombrer dans l'univers ; et pourtant il est négligable devant l'infini...).

[kosh75]

merci pour vos réponses que je comprends assez bien

je continue à y voir un paradoxe, mais sans doute que d'un point de vue purement mathématique il n'y en a pas

[hdci]

je continue à y voir un paradoxe, mais sans doute que d'un point de vue purement mathématique il n

En fait tout dépend du sens que l'on donne au mot "paradoxe" : par exemple le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème clairement démontré... pourtant "paradoxe" ?

En français, "paradoxe" a plusieurs sens possibles, l'un d'eux est "qui heurte le bon sens". Ce qui est bien le cas ici : la situation "heurte le bon sens" tout en étant pourtant mathématiquement exacte.

[kosh75]

Oui, "qui heurte pour le bon sens" correspond plutôt bien à ma définition. Pour moi paradoxe n'est pas incohérence, ce n'est pas quelque chose qui ne fonctionne pas. C'est justement quelque chose qui fonctionne, et "quelque part" c'est "étrange" que cela fonctionne.

Ce que je pense avoir saisi :
l'expérience de pensée ne serait pas acceptable mathématiquement parlant car on ne peut pas parler d'une probabilité de choisir un nombre au hasard parmi une infinité de nombre.
Dieu choisissant un nombre sur une "ligne infinie" n'aurait pas de sens.
J'ai cru comprendre à peu près la démonstration mathématique.
Par contre, à mon sens dans une expérience de pensée on fait justement intervenir des éléments qui ne seraient pas possibles en dehors de l'imaginaire.
Je n'ai personnellement pas de peine à imaginer un dieu capable de choisir un nombre au hasard dans un entier N, Dieu est badass ou alors ce n'est pas Dieu. Et à partir de là, je constate qu'avec les mêmes données on peut numéroter de sorte qu'une personne décédant ait (par exemple) soit 1 chance sur 1 milliards de devenir roi, soit au contraire 1 chance sur 1 milliard de devenir sujet.
Après je veux bien admettre qu'il y ait un élément considéré comme impossible par les mathématiciens.

[ijkl]

Dieu choisissant un nombre sur une "ligne infinie" n'aurait pas de sens.

Pourtant il est écrit que Dieu connait le nom de chaque étoile et il n'est pas écrit qu'il existe un nombre fini d' étoiles(Le big Bang est une théorie à la con parmi d'autres qui à cause d'elle fixe comme fini le nombre d'étoiles dans l'univers et satisfait les croyants qui pensent que Dieu a commencé à créer le temps à partir du Big Bang)

Dieu peut choisir une étoile parmi une inifinité (dénombrable) d'étoiles et regarder son "nom" mais toi en les appelant par leurs nom à raison d'une par seconde depuis des milliards de milliards d'années ne sera pas parvenu à la nommer

[hdci]

Certes, mais si ma religion c'est le pastafarisme ? Parce que je crois que le monstre de spaghetti volant s'en fiche bien du nom des étoiles...

[ijkl]

je ne faisais que citer puis commenter la phrase que l'auteur de ce sujet a écrit en disant que Dieu ne peut pas prendre un nombre réel au hasard dans la droite réelle

Je me demande bien pourquoi ... (que l'on croit ou pas en Dieu ne change rien au fait que je me demande bien pourquoi dire d'emblée cela )

[kosh75]

" Pourtant il est écrit que Dieu (...) en les appelant par leurs nom à raison d'une par seconde depuis des milliards de milliards d'années ne sera pas parvenu à la nommer "

Houlà ! J'ai du mal à saisir ton propos.

" Certes, mais si ma religion c'est le pastafarisme ? Parce que je crois que le monstre de spaghetti volant s'en fiche bien du nom des étoiles... "

ça pourrait puisque c'est une expérience de pensée. Elle n'est en rien liée à quelque religion, je pense que tout le monde l'avait compris

" je ne faisais que citer puis commenter la phrase que l'auteur de ce sujet a écrit en disant que Dieu ne peut pas prendre un nombre réel au hasard dans la droite réelle
Je me demande bien pourquoi ... (que l'on croit ou pas en Dieu ne change rien au fait que je me demande bien pourquoi dire d'emblée cela ) "

A la base justement ce n'est pas ce que je dis. Mais c'est ce qu'on m'a fait comprendre des réponses apportées. Si mathématiquement ce n'est pas accepté de pouvoir tirer un nombre au hasard sur un ensemble infini dénombrable, il faut le prendre en compte.

Après, pour l'expérience de pensée, malgré tout il me semble acceptable qu'un dieu ait la possibilité de tirer un nombre, même sur un ensemble infini

[ijkl]

. Si mathématiquement ce n'est pas accepté de pouvoir tirer un nombre au hasard sur un ensemble infini dénombrable, il faut le prendre en compte.

Je ne comprends pas le terme "mathématiquement" dans votre propos

en vous citant vous parlez de Dieu et que je sache Dieu n'est pas un dieu mais Dieu et que je sache il sait faire cela Lui

Il se trouve que personne en dehors de Lui ne sait comment prendre un nombre entier au hasard dans l'ensemble des entiers Z (et encore moins un réel)

c'est tout ce que j'ai dit (et rien d'autre)

[hdci]

Si mathématiquement ce n'est pas accepté de pouvoir tirer un nombre au hasard sur un ensemble infini dénombrable, il faut le prendre en compte.

En fait là n'est pas le sujet. Mathématiquement, on sait très bien définir cela : on définit une fonction P qui doit vérifier


Un exemple est la loi géométrique, celle qui décrit la probabilité que le premier succès ait lieu à l'itération n° n, une telle loi s'écrit

où est la probabilité du succès.

Cela revient à dire qu'on prend au hasard un entier naturel non nul, avec la probabilité de tirer n égale à ; mais la probabilité ici n'est pas équilibrée (il n'y a pas équiprobabilité).

Et on ne peut pas définir une loi équilibrée, dans le sens où chaque entier aurait la même probabilité. En effet :

• la somme de toutes les probabilités doit faire 1. Or si la probabilité d'une issue n'est pas nulle, l'infini fois cette probabilité c'est un tantinet plus grand que 1
• Donc la probabilité est nulle, mais une somme de zéros ça ne fait jamais que zéro et pas 1.

[ijkl]

En ce qui me concerne je te dit merci Hdci pour l'explication (moi en tout cas ça m'aide)