Les nombres premiers jumeaux

[nodjim]

Bonjour! Lis le règlement avant de poster!!

existent t ils en quantité infinie ?

Voila une vraie question ouverte.
J'ai une idée sur le sujet, pas de preuve formelle. Maintenant, on peut toujours s'exprimer sur cette grave question, à condition d'étayer un peu.
Des amateurs ?

[adrd]

Liste des 19 000 premiers couples de nombres premiers jumeaux
liste.zip

[nodjim]

Euh, oui mais encore ?

[uztop]

Salut,

J'ai une idée sur le sujet, pas de preuve formelle

ça tombe bien parce que rien n'a été démontré pour le moment. Il existe une conjecture qui dit qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, maisil n'y a pas de démonstration.

[nodjim]

Salut,



ça tombe bien parce que rien n'a été démontré pour le moment. Il existe une conjecture qui dit qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, maisil n'y a pas de démonstration.

ça je sais. Je dis simplement qu'il n'est pas interdit de s'y frotter juste pour voir. On a le droit de rêver, on est même ici pour ça, non ?

[Imod]

J'ai personnellement passé beaucoup de temps à essayer de démontrer la conjecture de Syracuse et avec le recul ce n'était pas du temps perdu . Maintenant je laisse ces mastodontes aux jeunes qui veulent faire leurs armes :zen:

Imod

[nodjim]

Voici une argumentation en version simplifiée.
Si on représente la suite des entiers naturels comme des jetons alignés, si on retire les jetons multiples de 2, on obtient une séquence de longueur 2.
Si ensuite on retire les mutiples de 3, on obtient une séquence de longueur 2*3=6.
Si on retire les mutiples de p, on obtient une séquence Sp de longueur 2*3*5*7....*p
Dans chaque séquence, le nombre de nombres provisoirement premiers Npp est (2-1)(3-1)(5-1)(7-1)...(p-1).
Et le nombre de paires de provisoirement premiers jumeaux Npj est (3-2)(5-2)(7-2)....(p-2).
Le rapport Lj=Sp/Npj donne la longueur moyenne entre 2 paires de nb provisoirement premiers.


Soit pk le nombre premier de rang k et sa séquence Spk.
Tous les jetons survivants entre p(k+1) et son carré sont définitivement premiers.
Pour supposer une fin aux premiers jumeaux, il faut zéro premier jumeau entre p(k+1) et p(k+1)².
Pour passer de pk à p(k+1), il faut multiplier pk par p(k+1)/pk.
Lj(k+1)=Ljk*p(k+1)/(p(k+1)-2)
Le plus souvent, p(k+1)/pk > p(k+1)/(p(k+1)-2)
Autrement dit le nombre premier grandit plus vite que la longueur moyenne entre 2 premiers jumeaux.
Quelques chiffres:
Pour 11, 11²=121 et Lpj=17.11
Pour 29, 29²=841 et Lpj=30.13
Pour 101, 101²=10201 et Lpj=191

Le nombre moyen de premiers jumeaux grandit dans l'intervalle entre le nombre premier et son carré.
Plus le nombre premier grandit, moins on a de chances de trouver zéro premiers jumeaux.

A mon avis, les nombres premiers jumeaux sont infinis.

[ibrahimaeygue]

M. Ibrahima GUEYE Ouakam, le 26 Avril 2009
21 angle 24 Médina
Téléphones: 00221775669457
Emails : ibrahimaeygue@yahoo.fr
ibrahimayegue@hotmail.com


CARACTERE INFINI DU NOMBRE DE PREMIERS JUMEAUX


(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
On sait que la formule t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N* donne tous n + 2 n + 2


les nombres premiers (avec répétition d’un grand nombre de fois du chiffre 2).
On sait aussi que si : t(n+2)=t(n) + 2 alors t(n) et t(n+2) sont des nombres premiers jumeaux.

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
t(n+2) = 2 + (n+2)[ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N*
n + 4 n + 4

Considérons toutes les valeurs de n telles que t(n) et t(n+2) soient des nombres premiers jumeaux. Alors t(n) et t(n+2) seront différents de 2.



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Donc [ --------------- - [ ---------- ] ] et
n + 2 n + 2

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
[ --------------- - [ ---------- ] ]
n + 4 n + 4



seront différents de 0.

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Par ailleurs on sait que [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2
D’où t(n) et t(n+2) seront des premiers jumeaux sssi (n+2) divise ( (n+1) ! + 1) et (n+4) divise ( (n+3) ! + 1). D’où l’existence de deux nombres entiers a et b différents de 0 tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 3) ! + 1
( --------------- ) = b et ( --------------- ) = a avec a > b
n + 2 n + 4

Donc il existe un entier naturel c tel que a = b + c ; c = a - b


(n + 3) ! + 1 (n + 1) ! + 1
c = ( --------------- ) - ( --------------- ). Après caculs on aboutit à :
n + 4 n + 2


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ). n* signifie n au cube
(n + 2) (n + 4)

S’il existe une infinité de valeurs de n telles que c soit un entier naturel alors on pourra dire que le nombre de couples de premiers jumeaux est infini.

Par ailleurs un théorème des nombre premiers stipule que n et (n+2) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n (n+2) divise (4 ((n-1)! + 1) + n). Donc (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise (4 ((n+1)! + 1) + n+2). Soit d £ N* tel que

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = --------------------------- .
(n+2) (n+4)

Plus haut on avait trouvé que t(n) et t(n+2) sont premiers sssi ((n + 2) (n + 4)) divise ((n*+7n²+15n+8) (n + 1)! – 2).
Si t(n) est premier alors t(n) = (n + 2) et si t(n + 2) premier alors t(n+2)=(n+4).

(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ) et
(n + 2) (n + 4)

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = ----------------------------
(n+2) (n+4)


Par analogie on peut dire que (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise la somme (c+d).


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2 + 4 ((n+1)! + 1) + n+2
c+d = --------------------------------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n*+7n²+15n+12) (n + 1)! + n+4
c+d = ---------------------------------------- =
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n²+3n+2+1) (n + 1)! + 1
c+d = ------------------------------- =
(n + 2)

(n²+3n+2) (n + 1)! + (n+1)! + 1
--------------------------------------
(n + 2)




(n+1)(n+2)(n + 1)! (n + 1)! + 1
c+d = ----------------------- + -------------- =
(n + 2) (n + 2)

(n + 1)! + 1
(n+1)(n+1)! + ---------------
n+2



D’où (n+2)(n+4) divise (c+d) sssi (n+2) divise ((n+1)! + 1).
Or on sait que le nombre de premiers jumeaux est infni.
Donc il existe une infinité de valeurs de n tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] soit premier.
n + 2 n + 2



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Or [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2

Donc il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+2) divise ((n + 1) ! + 1).
Ce qui veut dire qu’il y a une infinité de valeurs de n telles que (n+2)(n+4) divise (c+d).
D’où le nombre de couples de nombres premiers jumeaux est infini

[ibrahimaeygue]

Ouakam, le 26 Avril 2009
Téléphone: 00221775669457
Emails : ibrahimaeygue@yahoo.fr
ibrahimayegue@hotmail.com


CARACTERE INFINI DU NOMBRE DE PREMIERS JUMEAUX


(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
On sait que la formule t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N* donne tous
n + 2 n + 2

les nombres premiers (avec répétition d’un grand nombre de fois du chiffre 2).
On sait aussi que si : t(n+2)=t(n) + 2 alors t(n) et t(n+2) sont des nombres premiers jumeaux.

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
t(n+2) = 2 + (n+2)[ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N*
n + 4 n + 4

Considérons toutes les valeurs de n telles que t(n) et t(n+2) soient des nombres premiers jumeaux. Alors t(n) et t(n+2) seront différents de 2.



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Donc [ --------------- - [ ---------- ] ] et
n + 2 n + 2

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
[ --------------- - [ ---------- ] ]
n + 4 n + 4



seront différents de 0.

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Par ailleurs on sait que [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2
D’où t(n) et t(n+2) seront des premiers jumeaux sssi (n+2) divise ( (n+1) ! + 1) et (n+4) divise ( (n+3) ! + 1). D’où l’existence de deux nombres entiers a et b différents de 0 tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 3) ! + 1
( --------------- ) = b et ( --------------- ) = a avec a > b
n + 2 n + 4

Donc il existe un entier naturel c tel que a = b + c ; c = a - b


(n + 3) ! + 1 (n + 1) ! + 1
c = ( --------------- ) - ( --------------- ). Après caculs on aboutit à :
n + 4 n + 2


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ). n* signifie n au cube
(n + 2) (n + 4)

S’il existe une infinité de valeurs de n telles que c soit un entier naturel alors on pourra dire que le nombre de couples de premiers jumeaux est infini.

Par ailleurs un théorème des nombre premiers stipule que n et (n+2) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n (n+2) divise (4 ((n-1)! + 1) + n). Donc (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise (4 ((n+1)! + 1) + n+2). Soit d £ N* tel que

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = --------------------------- .
(n+2) (n+4)

Plus haut on avait trouvé que t(n) et t(n+2) sont premiers sssi ((n + 2) (n + 4)) divise ((n*+7n²+15n+8) (n + 1)! – 2).
Si t(n) est premier alors t(n) = (n + 2) et si t(n + 2) premier alors t(n+2)=(n+4).

(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ) et
(n + 2) (n + 4)

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = ----------------------------
(n+2) (n+4)


Par analogie on peut dire que (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise la somme (c+d).


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2 + 4 ((n+1)! + 1) + n+2
c+d = --------------------------------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n*+7n²+15n+12) (n + 1)! + n+4
c+d = ---------------------------------------- =
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n²+3n+2+1) (n + 1)! + 1
c+d = ------------------------------- =
(n + 2)

(n²+3n+2) (n + 1)! + (n+1)! + 1
--------------------------------------
(n + 2)




(n+1)(n+2)(n + 1)! (n + 1)! + 1
c+d = ----------------------- + -------------- =
(n + 2) (n + 2)

(n + 1)! + 1
(n+1)(n+1)! + ---------------
n+2



D’où (n+2)(n+4) divise (c+d) sssi (n+2) divise ((n+1)! + 1).
Or on sait que le nombre de premiers jumeaux est infni.
Donc il existe une infinité de valeurs de n tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] soit premier.
n + 2 n + 2



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Or [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2

Donc il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+2) divise ((n + 1) ! + 1).
Ce qui veut dire qu’il y a une infinité de valeurs de n telles que (n+2)(n+4) divise (c+d).
D’où le nombre de couples de nombres premiers jumeaux est infini
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[ibrahimaeygue]

[CENTER]Ouakam, le 26 Avril 2009
Téléphone: 00221775669457
Emails : ibrahimaeygue@yahoo.fr
ibrahimayegue@hotmail.com


CARACTERE INFINI DU NOMBRE DE PREMIERS JUMEAUX


(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
On sait que la formule t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N* donne tous
n + 2 n + 2

les nombres premiers (avec répétition d’un grand nombre de fois du chiffre 2).
On sait aussi que si : t(n+2)=t(n) + 2 alors t(n) et t(n+2) sont des nombres premiers jumeaux.

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
t(n+2) = 2 + (n+2)[ --------------- - [ ---------- ] ] , n £ N*
n + 4 n + 4

Considérons toutes les valeurs de n telles que t(n) et t(n+2) soient des nombres premiers jumeaux. Alors t(n) et t(n+2) seront différents de 2.



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Donc [ --------------- - [ ---------- ] ] et
n + 2 n + 2

(n + 3) ! + 1 (n + 3) !
[ --------------- - [ ---------- ] ]
n + 4 n + 4



seront différents de 0.

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Par ailleurs on sait que [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2
D’où t(n) et t(n+2) seront des premiers jumeaux sssi (n+2) divise ( (n+1) ! + 1) et (n+4) divise ( (n+3) ! + 1). D’où l’existence de deux nombres entiers a et b différents de 0 tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 3) ! + 1
( --------------- ) = b et ( --------------- ) = a avec a > b
n + 2 n + 4

Donc il existe un entier naturel c tel que a = b + c ; c = a - b


(n + 3) ! + 1 (n + 1) ! + 1
c = ( --------------- ) - ( --------------- ). Après caculs on aboutit à :
n + 4 n + 2


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ). n* signifie n au cube
(n + 2) (n + 4)

S’il existe une infinité de valeurs de n telles que c soit un entier naturel alors on pourra dire que le nombre de couples de premiers jumeaux est infini.

Par ailleurs un théorème des nombre premiers stipule que n et (n+2) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n (n+2) divise (4 ((n-1)! + 1) + n). Donc (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise (4 ((n+1)! + 1) + n+2). Soit d £ N* tel que

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = --------------------------- .
(n+2) (n+4)

Plus haut on avait trouvé que t(n) et t(n+2) sont premiers sssi ((n + 2) (n + 4)) divise ((n*+7n²+15n+8) (n + 1)! – 2).
Si t(n) est premier alors t(n) = (n + 2) et si t(n + 2) premier alors t(n+2)=(n+4).

(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ) et
(n + 2) (n + 4)

(4 ((n+1)! + 1) + n+2)
d = ----------------------------
(n+2) (n+4)


Par analogie on peut dire que (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise la somme (c+d).


(n*+7n²+15n+8) (n + 1)! - 2 + 4 ((n+1)! + 1) + n+2
c+d = --------------------------------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n*+7n²+15n+12) (n + 1)! + n+4
c+d = ---------------------------------------- =
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)

(n+4) (n²+3n+3) (n+1)! + n + 4
=--------------------------------------
(n + 2) (n + 4)


(n²+3n+2+1) (n + 1)! + 1
c+d = ------------------------------- =
(n + 2)

(n²+3n+2) (n + 1)! + (n+1)! + 1
--------------------------------------
(n + 2)




(n+1)(n+2)(n + 1)! (n + 1)! + 1
c+d = ----------------------- + -------------- =
(n + 2) (n + 2)

(n + 1)! + 1
(n+1)(n+1)! + ---------------
n+2



D’où (n+2)(n+4) divise (c+d) sssi (n+2) divise ((n+1)! + 1).
Or on sait que le nombre de premiers jumeaux est infni.
Donc il existe une infinité de valeurs de n tels que :

(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
t(n) = 2 + n [ --------------- - [ ---------- ] ] soit premier.
n + 2 n + 2



(n + 1) ! + 1 (n + 1) !
Or [ --------------- - [ ---------- ] ] est soit égal à 0 soit égal à 1.
n + 2 n + 2

Donc il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+2) divise ((n + 1) ! + 1).
Ce qui veut dire qu’il y a une infinité de valeurs de n telles que (n+2)(n+4) divise (c+d).
D’où le nombre de couples de nombres premiers jumeaux est infini
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[nodgim]

Quelqu'un connait il les propriétés avancées par Ibrahim ?

Ibrahim, il faudrait que tu supprimes 2 des 3 messages que tu envoies, je ne sais pas trop si c'est une répétition ou des correctifs.

[Doraki]

Son problème c'est que a entier et b entier => a+b entier, mais la réciproque est fausse.
( c(n) peut être entier sans que n+2 et n+4 soient premiers)

Surtout qu'à la fin il montre que tous les nombres premiers sont des nombres premiers jumeaux, c'est assez douteux x)