Les nombres initiateurs

[paquito]

La longueur de l'écriture peut être impaire, dans ce cas, on doit avoir I=\frac{p!}{n+1}-\frac{n}{2}, avec n+1\leq p, n\ne 0 et donc I+(I+1)+...+(I+n)=p!
Maintenant peut on trouver p et n tels que I=3?

Avec n=2, ça ne marche pas; avec n=4 non plus, donc on doit avoir n\geg 6 et donc p \Geq 6, mais

\frac{p!}{n+1}\geq n! et n!-\frac{n}{2}>3 pour n \geq 6, donc 3 ne convient pas avec une écriture impaire.

Avec une écriture paire, n=1,3 et 5 ne conviennent, donc p et n doivent être \geq 7 et cette fois ci (n-1)!-\frac{n}{2}>3 pour n\geq 7.

Conclusion: 3 ne sera jamais initiateur.

[Mario2015]

J`ai deja dit que je ne le savais pas.
Un algo qui dirait 3 est un nombre initiateur ou pas serait le bienvenu.
On peut produire des initiateurs avec toute sorte de suites (arithmetiques raison > 1 par exemple etc...)

En elargissant le concept de nombres initiateurs a des raisons > 1 on peut generer des nombres initiateurs de rang plus eleve.
Exemple :

7 est initiateur de 4!

7+8+9 = 24

5!=5*(4!)

5!=5*7+5*8+5*9 = 35+40+45

On peut aboutir a des resultats interessants en se basant sur ces proprietes.
Le champ d`investigation est ouvert.
En fait pourquoi 3 ne peut (peut-etre pas) etre un nombre initiateur?
Est-ce que 25+8*(p!) peut etre un carre?
Si oui alors 3 est un nombre initiateur
Si non on peut etre certain que 3 n`est pas un nombre initiateur.
3 peut-il etre initiateur avec une raison > 1 ?
oui!
raison = 5

3
3+5
3+10

3+8+13 = 24 = 4!

etc...

[Mario2015]

Plus la factorielle n "grossit" plus la possibilite de la reduire en un produit A*B ou (B-A) est le plus petit possible diminue. Il y aura toujours une valeur minimale (B-A) avec B>A mais elle croit en fonction de la taille de n!
3!=2*3 (difference 1)
4!=4*6 (difference 2)
5!= 10*12 (difference 2)
6!=24*30 (difference 6)

etc....

Forcement, certains nombres ne peuvent etre initiateurs.
Lesquels?
Personne n`a liste les 100 premiers nombres initiateurs.

[paquito]

La condition pour que I soit initiateur est qu'il existe deux entiers p et n tels que étant la longueur du chemin.

Fixons I=3, prenons p comme paramètre; la condition pour que I soit initiateur est :

, donc que soit un carré parfait; or ce nombre se termine par 5 dès queet donc il peut très bien être un carré parfait!

les expériences possibles avec une calculatrice ne donnent pas de solution mais absolument rien ne prouve qu'il n'y en a pas pour des valeurs non vérifiables avec nos moyens de calcul.

[Mario2015]

La condition pour que I soit initiateur est qu'il existe deux entiers p et n tels que étant la longueur du chemin.

Fixons I=3, prenons p comme paramètre; la condition pour que I soit initiateur est :

, donc que soit un carré parfait; or ce nombre se termine par 5 dès queet donc il peut très bien être un carré parfait!

les expériences possibles avec une calculatrice ne donnent pas de solution mais absolument rien ne prouve qu'il n'y en a pas pour des valeurs non vérifiables avec nos moyens de calcul.

On ne peut avancer qu`avec des preuves malheureusement.
Affirmer que 25+8*(p!) "peut tres bien etre un carre parfait" me semble du ressort de la foi et non des mathematiques.

[zygomatique]

pour que 25 + 8p! soit un carré il suffit que 8p!/100 = q(q + 1) ...

et alors 25 + 8p! est le carré de 10q + 5 ....

ça m'étonnerait qu'on en trouve pas un ....

[paquito]

On ne peut avancer qu`avec des preuves malheureusement.
Affirmer que 25+8*(p!) "peut tres bien etre un carre parfait" me semble du ressort de la foi et non des mathematiques.

En mathématiques, il est parfois impossible de savoir s'il y a une solution ou non! (Syracuse par exemple). Essaie de prouver que 25+8p! n'est jamais un carré parfait.

[Mario2015]

Mon espoir est que tout nombre I > 0 puisse etre un nombre initiateur.
Si pour I=3 une factorielle existe cela confirmerait mon idee : a savoir trouver un nombre pour lequel la recherche qui se ferait EN AMONT necessiterait une puissance de calcul quasi-infinie.
J`aurais de ce fait atteint mon but.
Ce serait un probleme bien plus complexe que celui de la primalite.
Mais, la encore, je doute que j`y arriverai.
Je viens de proposer le probleme sur 2 sites anglophones.

[Mario2015]

Il semble d`apres les reponses que j`ai eues sur les sites anglophones que le probleme est relie au "Brocard`s problem".
Bref, probleme pas facile du tout du tout.
Savoir si un nombre est initiateur ou non c`est un peu comme l`oeuf et la poule.
Merci pour tous les commentaires.
Je laisse decanter ce probleme.
Je pense qu`il a une solution definitive et plus simple peut-etre.

[paquito]

e n'ai toujours pas trouvé de contradiction, mais on peut dire que assez rapidement, l'écriture décimale de est un entier pair dont le dernier chiffre est non nul, suivi de et enfin de , soit :

avec On trouve assez facilement qu'un entier dont le carré soit

s'écrit , ce qui donne au carré ;

donc, existe t'il et tel que, soit ou
Ce serait une véritable curiosité mathématique; perso, je n'y crois pas mais e n'ai pas la preuve.
Ton problème, très intéressant, reste ouvert :zen:

[Mario2015]

En somme, il n`y a toujours rien qui puisse empecher le nombre p! d`exister.
Encore faut-il le trouver.

Merci.

[nodjim]

Je ne m'avance pas trop en disant que les nombres initiateurs ont une densité nulle dans N. Et c'est assez facile à montrer. A votre avis ?

[Waax22951]

Je ne m'avance pas trop en disant que les nombres initiateurs ont une densité nulle dans N. Et c'est assez facile à montrer. A votre avis ?

Bah avant tout il faudrait montrer qu'il existe au moins un entier qui n'est pas initiateur.. :we:

[Mario2015]

Une question de curiosite :
Si on demarre notre decompte a 1 et que l`on rajoute indefiniment 1 :1+2+3+4+.....infini combien de factorielles risquons-nous de "toucher".
Pour chaque egalite a une factorielle on note +1 que serait Sommedessucces de 1 a infini.
Avant 4 on a 1 :
1+2+3=6=3!
Avant 16 on a 2
1+2+3=6=3!
1+2+.....+15=120=5!
Cette fonction serait-elle infinie quand n tend vers l`infini?

[paquito]

Une question de curiosite :
Si on demarre notre decompte a 1 et que l`on rajoute indefiniment 1 :1+2+3+4+.....infini combien de factorielles risquons-nous de "toucher".
Pour chaque egalite a une factorielle on note +1 que serait Sommedessucces de 1 a infini.
Avant 4 on a 1 :
1+2+3=6=3!
Avant 16 on a 2
1+2+3=6=3!
1+2+.....+15=120=5!
Cette fonction serait-elle infinie quand n tend vers l`infini?

Encore un problème intéressant, mais difficile! D'après ma calculatrice, 1 pourrait être initiateur de 25!, mais il faut le vérifier avec un logiciel travaillant avec des grands nombres! Et ça ne marche pas, même s'il sont très proches (n=5,569,777,382,144). Intuitivement, je pense que les initiateurs sont très rares.

[nodjim]

Pour répondre à la question du 1 nombre initiateur, il n'est pas associé à une infinité de factorielles, et il n'y en a pas d'autres que celles qui ont été trouvées.
La preuve n'est pas difficile. En revanche, seul le 1 est facile à démontrer.

[nodjim]

J'ai fait une réponse trop rapide, je n'ai pas la démo de l'existence ou non d'une infinité de factorielles associées à 1.

[Mario2015]

Combien de solutions a cette equation diophantienne :

2*(n!)=m*(m+1)

m=3 n=3
m=15 n=5
Je conjecture une infinite..

[Mario2015]

Chaque factorielle n! a un nombre fini d`initiateurs qui lui correspondent :
-trouver un moyen de les calculer rapidement
-prouver que les initiateurs de (n+1)! et de n! sont distincts.

Deux taches pas impossibles mais necessaires.

[Mario2015]

Ce probleme commence a me passionner!
Initiateur ou non?
Si oui pourquoi?
Si non pourquoi?