Jeu de chiffre

[ampholyte]

Bonjour,

Comment peut-on trouver cette suite de résultat ? Comment le démontrer ? Existe-t'il un moyen de générer ce genre de "suite" ?

Problème 1 :

Code: Tout sélectionner

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Problème 2 :

Code: Tout sélectionner

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

Problème 3 :

Code: Tout sélectionner

9  x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Problème 4 :

Code: Tout sélectionner

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Merci d'avance !

[Doraki]

Ben tu peux écrire tous ces nombres sous formes de fractions simples.

Par exemple 123456789 * 8 + 9 = 987654321, ce n'est rien d'autre que
(10^10 - 91)/81 * 8 + 9 = (8*10^10 + 1)/81

Et en effet, (10^10 - 91)*8+9*81 = 8*10^10 - 728 + 729 = 8*10^10+1

[ampholyte]

Hum, je vois mais comment trouves-tu la fraction ?

Désolé pour mon ignorance, mais je ne comprends pas comment tu passes de
123456789 à (10^10 - 91)/81. Pourrais-tu m'expliquer ?

Merci pour ta réponse :)

[Doraki]

Ben tu peux multiplier 123456789 par 9 deux fois de suite et voir ce que ça fait. A chaque coup ça se simplifie un peu plus.

Si tu préfères tu dis que 111111111 = 10^9-1 /9, que 11111111 c'est 10^8-1/9, etc, et donc que 123456789 = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 111111111 = ... = encore une série géométrique = ...
Mais au final c'est un peu la même chose.

[ampholyte]

Que suis-je bête, vivement le week end :p.

Merci pour ta réponse :).