Isodiamétrale

[MMu]

Soit une courbe continue fermée délimitant un compact convexe du plan, avec des points où a une tangente.
La surface du compact est et son diamètre est
Montrer que ..

[GaBuZoMeu]

On peut se ramener à l'inégalité isopérimétrique qui nous dit que , où est la surface et le périmètre.
On utilise le fait que le périmètre d'un convexe est égal à fois la largeur moyenne de ce convexe. La largeur suivant la direction d'angle polaire du convexe est la longueur de l'intervalle image de par . La largeur moyenne de est la moyenne de pour allant de à . À noter qu'un disque ou que l'intérieur du triangle de Reuleaux sont des convexes de largeur constante. La relation entre périmètre et largeur moyenne pour un convexe compact du plan est une conséquence de la formule de Cauchy-Crofton pour calculer la longueur des courbes.
Il est à peu près clair que le diamètre d'un convexe est égal à sa largeur maximale, et donc supérieur ou égal à sa largeur moyenne. On a donc . Les inégalités mises bout à bout donnent , donc .
C'est un chemin sans doute détourné, mais qui m'est familier. Ceci fait que j'ai la flemme d'en chercher un plus direct.

[MMu]

Ok GaBu... c'est bien ..
Il y a en effet un chemin beaucoup plus direct ..

[MMu]

Comme je l'ai écrit on peut faire plus simple, abordable au niveau terminale.
Il y a par ex la démo utilisant la symétrie de Steiner .. passons ..
Mais voici celle qui est la plus simple dont j'ai apris l'existence l'année dernière, bien qu'elle datât si je ne me trompe pas de 1953(Littlewood) !
Soit un point où il y a une tangente à la courbe . On prend comme origine et la tangente comme axe des , la courbe étant au dessus. (désolé je ne sais pas faire des figures )
Soit , l'équation de la courbe en coordonnées polaires.
La surface du domaine entouré par la courbe est alors :

Le triangle est manifestement rectangle donc
Mais (rappel est le "diamètre" du domaine).
Il s'ensuit donc .. q.e.d
L'égalité a lieu seulement pour le cercle (je vous laisse le prouver) ..