Irrationnels faciles

[MMu]

Considérons l'égalité
Montrer que ne sont pas tous rationnels.

[GaBuZoMeu]

est négatif pour un des deux ordres sur (celui qui rend négatif). Il ne peut donc pas être une somme de carrés dans ce corps.

[Skullkid]

En travaillant dans la base , avec , si x est un élément non nul de , la "partie rationnelle" de est strictement positive. Comme la partie rationnelle de est nulle, on déduit le résultat.

Y a sans doute une solution plus galoisienne mais ça fait trop longtemps que j'ai pas touché à ces choses-là...

Edit : Ah bah voilà, argument élégant de GaBuZoMeu ^^

Edit 2 : Bon visiblement je ne sais pas multiplier par 2... tant pis, ma démo marche quand même si on remplace par dans la base. En fait ça marche tant que le membre de droite de l'équation a une norme négative, ce qui je suppose se ramène à ce que dit GaBuZoMeu.

[Dattier]

Considérons l'égalité
Montrer que ne sont pas tous rationnels.

Si et était dans alors :
on aurait impossible !