Introduction à la démonstration

[FLBP]

Bonjour à tous,
Voici l'énoncé d'un problème simple dont je demande la démonstration :

Lors d'une soirée de 13 personnes, en arrivant, certains se serrent la main, d'autres pas. Démontrer qu'au moins deux personnes auront serré le même nombre de mains, sachant qu'on ne se sert pas la main à soit même.

Cordialement.

[beagle]

va falloir attribuer un nombre de 0 à 12 à chaque personne.
Pour avoir 13 reponses différentes il donner ces 13 nombres,
or ils correspndent à des situations incompatibles comme le 0 et le 12 ...

[Ben314]

Salut,
L'énoncé en question, c'est un succédané du grand classique suivant :
Un matheux et sa femme se rendent à une soirée où sont conviés 50 couples. Comme le matheux s'emmerde passablement, il interroge les 99 autres convives pour savoir combien de poignée de main ils ont échangés et, de façon assez surprenante, il obtient 99 réponses différentes. Combien sa femme a-t-elle échangé de poignées de main ?
(il est sous entendu que personne ne serre la main de son conjoint)

[lynux]

Salut,
Ce problème se généralise facilement à n personnes et il est clair que chaque personne peut serrer entre 0 et n-2 mains ou 1 et n-1 mais dans ces deux cas, il y a n-1 nombre de serrages de mains différentes or il y a n personnes, ce qui conclut par le principe des tiroirs.

[kyrie243]

J'ai pensé à faire un tuple (w1,... w13) représentant le nombre de main serré de chaque personnes, le problème c'est que chaque wi pour i != 1 est dépendant des w1, ... ,wi-1 et que il y a la possibilité que wi ai serré la main de wj ou non. Puisque w1 peut valoir 11 et ça n'implique pas qu'il ai serré la main de w2 qui vaut du coup entre 0 et 11 ou 1 et 12 en fonction de ça. J'en ai déduis que c'était pas la meilleur façon.

Après on peut chercher le contraire la probabilité que aucune personne n'ai le même nombre de main serré, c'est sûrement ce que beagle voulait dire, ceci reviendrait à un ensemble de {w1, ... , w13} qui prend ses valeurs dans {0, ..., 12} tel que les wi et wj soient différents pour i différent de j. Et ceci est impossible la probabilité vaut donc 0. Tu as donc
Probabilité que 2 personne aient le même nombre de mains serré = 1-Probabilité que personne n'ai le même nombre de main serré = 1.

[Pseuda]

Bonsoir,

S'il y a 14 (par exemple) personnes à la soirée, le problème a une autre solution.

[beagle]

14 personnes, je dois attribuer un nombre différent pour ces 14 personnes à choisir dans 0 à 13.
si 13 alors pas zero.
euh, je ne vois pas

[Pseuda]

Je voulais dire : on peut faire un autre raisonnement (que j'avais fait au début) pour arriver à la même conclusion. En comptant le nombre total de mains serrées. .