Intersection de disques

[Waax22951]

Bonsoir,
Voici un petit défi qui n'est pas trop compliqué, mais qui m'a pas mal amusé:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé . On considère, pour tout entier relatif , le point de coordonnées et le disque de rayon 2 et de centre .
Montrer que l'intersection des disques est le disque de rayon 1 et de centre .

Je le poste aussi histoire de voir si certains trouveront des preuves plus élégantes et plus courtes que la mienne qui, je l'avoue, n'est ni courte, ni élégante :ptdr:

Bonne soirée :lol3:

[LeJeu]

Bonsoir,
Voici un petit défi qui n'est pas trop compliqué, mais qui m'a pas mal amusé:

Bonjour,

"ne suffit t'il" pas de dire que comme la suite Cos(n)admet [-1,1] comme valeurs d'adhérence dans R
alors la suite Pn admet le cercle de centre O et de rayon 1 comme valeurs d'adhérence ?

Et ensuite de conclure que tout point du disque de centre O et de rayon 1 est élément des disques Dn
et que pour tout point P extérieur au disque il existe un Dn qui ne le contient pas ( grosso modo centré sur le disque de rayon 1 à l'opposé du point P par rapport au centre O)

Je dis une énorme bêtise ? on n'a pas le droit de dire "il suffit" ?

[godzylla]

j'ai rien compris, si tu est sur oi j, n est va etre représenté par l'axe i?

j'aurrai dit un repere a b permetant de faire des collage et de regarder mecaniquement et visuelement ce qu'on dit. c'est meme pas de l'algebre ni de l'arithmetique.

[Waax22951]

Bonjour,

Bonjour,

"ne suffit t'il" pas de dire que comme la suite Cos(n)admet [-1,1] comme valeurs d'adhérence dans R
alors la suite Pn admet le cercle de centre O et de rayon 1 comme valeurs d'adhérence ?

Et ensuite de conclure que tout point du disque de centre O et de rayon 1 est élément des disques Dn
et que pour tout point P extérieur au disque il existe un Dn qui ne le contient pas ( grosso modo centré sur le disque de rayon 1 à l'opposé du point P par rapport au centre O)

Je dis une énorme bêtise ? on n'a pas le droit de dire "il suffit" ?

Oui, globalement c'est comme cela que j'ai fait ^^
Après je ne sais pas si ça suffit de dire que les suites cos(n) et sin(n) admettent [-1,1] comme valeurs d'adhérence dans R, donc j'ai montré que est dense dans , où est définie par:
[CENTER][/CENTER]
Du coup pour tout réel strictement positif a et pour tout point M du cercle trigo, il existe un point Pn tel que MPn2). :lol3:

j'ai rien compris, si tu est sur oi j, n est va etre représenté par l'axe i?

j'aurrai dit un repere a b permetant de faire des collage et de regarder mecaniquement et visuelement ce qu'on dit. c'est meme pas de l'algebre ni de l'arithmetique.

Je suis désolé, mais je n'ai pas du tout compris ce que tu n'as pas compris: quel est le rapport entre le repère où je me place et l'entier "n" ?
Et je ne comprends pas ce que tu veux dire par "n va être représenté par l'axe i", car un entier n'est pas "représenté" (et dans quel sens ?) selon un axe (et d'ailleurs i n'est pas un axe mais un vecteur..).
Après j'ai pas compris ton histoire de collage, et je ne vois pas pourquoi ça devrait nécessairement avoir un rapport avec l'algèbre ou l'arithmétique..!
(ce serait même plutôt de l'analyse et de la géométrie..)

[ffpower]

Ta suite de points Pn=(cos n, sin n)=e^in est dense dans le cercle unité. Ceci est suffisant pour conclure

[Waax22951]

Ta suite de points Pn=(cos n, sin n)=e^in est dense dans le cercle unité. Ceci est suffisant pour conclure

D'accord merci, du coup je le saurai pour la prochaine fois ! :id:

[zygomatique]

salut

pour tout n P_n appartient au cercle unité...

donc pour tout n le disque unité est inclus dans le disque D_n ...

donc il est inclus dans leur intersection ....

soit M un point extérieur au disque unité ....

la droite (MO) coupe le cercle unité en deux points P et Q avec Q dans [OM) ...

alors MP > PQ = 2

posons MP = 2 + h avec h > 0

puisque les P_n sont denses dans C (cercle unité) il existe un voisinage de P contenant une infinité de P_n

choisissons en 1 tel que PP_n < h/2

alors d'après l'inégalité triangulaire MP < MP_n + PP_n <=> MP_n > 2 + h - h/2 = 2 + h/2 > 2

donc M n'appartient pas au disque D_n correspondant

...


:lol3: