Intersection de courbes

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

Intersection de courbes

par Dlzlogic » 03 Mai 2013, 00:42

Bonjour,
Voila un problème qui m'a été posé et qui pourrait amuser les amateurs de défis.
Soit un graphique contenant une courbe C1 et une courbe C2, le but est de calculer l'intersection de ces 2 courbes.
La courbe C1 a la "forme" fixe de fonction Y1=A1 + B1 ln(X).
Elle passe (ou plutôt démarre) par un point fixe F0, situé sur le bord gauche du graphique.
Elle fait un angle alpha avec l'axe des X. On connait les valeurs A1 et A2 pour un angle alpha = 30°. Cet angle peut varier de + ou - 10°. il s'agit toujours d'un angle mesuré sur le graphique. Pour être plus précis, la courbe C1 peut occuper plusieurs positions en fonction de l'angle alpha, par rotation de centre F0.
La courbe C1 est très plate, et à main levée peut s'assimiler à un segment de droite.

La seconde courbe est un segment de droite dont on connait les extrémités E1 et E2. Pour être tout à fait rigoureux, la courbe C2 est un arc de cercle de rayon connu, mais très grand, ce qui permet de l'assimiler à un segment de droite.

On remarquera que le système n'est pas normé.
Ce sont les hypothèses et je crois n'avoir rien oublié, mais naturellement je répondrai à toutes les questions.

IMPORTANT : prière aux contradicteurs de s'abstenir.



adrien69
Membre Irrationnel
Messages: 1899
Enregistré le: 20 Déc 2012, 14:14

par adrien69 » 03 Mai 2013, 01:44

Je dois avouer que j'ai du mal à comprendre. Si on assimile les courbes à des droites, calculer l'intersection est on ne peut plus facile non ?

À moins qu'on n'assimile ces courbes à des droites localement afin de calculer plus facilement, tout en gardant leurs spécificité d'origine pour trouver la région dans laquelle on pourra travailler localement ?

Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

par Dlzlogic » 03 Mai 2013, 13:22

Bonjour,
La seule courbe que j'ai assimilée à un segment de droite (pour l'instant) est l'arc de cercle, ca c'est facile : on connait ce segment par 2 points.
C'est l'autre courbe qui rend le problème plus compliqué.
Sa fonction est connue pour un angle de 30° par rapport à l'axe des X, sur le graphique concerné. Cette courbe est fonction de son angle avec l'axe des X, cet angle pouvant varier de 20° à 40°. Elle est assez plate, mais sa forme est logarithmique.
Il est à noter aussi que cet angle en degré correspond au graphique utilisé, les X varient de 3000 à 0, les Y de 0 à 90 environ pour une représentation format paysage (approximativement). Mais j'ai toutes les valeurs précises pour donner un résultat précis.
Naturellement, ce n'est pas la résolution elle-même, qui sera de la forme :
A1 + B1 ln(X) = A2 + B2 X
encore que le résultat 'X=...' DEVRA être sous forme analytique, et non sous forme itérative.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 03 Mai 2013, 13:59

Dlzlogic a écrit:le résultat 'X=...' DEVRA être sous forme analytique, et non sous forme itérative.

C'est quoi la différence ?

Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

par Dlzlogic » 03 Mai 2013, 14:39

Je n'ai pas encore résolu le problème, mais il est possible que la solution de l'équation ne puisse pas être mise sous forme X= valeur, par exemple dans le cas d'équation comportant un angle et sa valeur trigonométrique, on est alors obligé de passer par une itération, type Newton, ce qui est exclu dans le cas présent.

Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

par Dlzlogic » 03 Mai 2013, 15:19

Je re-précise le problème.
Un certain calcul se fait actuellement avec des moyens graphiques
1- on a un arc de cercle de très grand rayon qui passe par 2 points, et je l'assimile pour l'instant à un segment de droite.
2- on a une courbe tracée avec un "pistolet", à partir d'un point donné. La position de base correspond à un angle de 30° par rapport à l'axe des X. Pour cette position, la fonction est Y = A1 + B1 ln(X). Précision importante, les unités en X et en Y sont différentes. J'ai mesuré A1 et B1, on considère ces valeurs comme bonnes et définitives.

La courbe tracée au pistolet sera toujours la même, et avec toujours la même origine, mais l'angle avec l'axe des X peut varier de -10° à +10° à partir de sa position de base 30°. La fonction mesurée aura toujours une courbe représentative de la même forme, puisqu'on utilise toujours le même pistolet pour la tracer, mais sa fonction n'aura probablement plus grand-chose à voir avec celle correspondant à 30°.

Donc : comment calculer l'intersection sans utiliser ni graphique, ni pistolet, ni rapporteur, mais naturellement on connait la variation d'angle par rapport à la position de base 30° ?

adrien69
Membre Irrationnel
Messages: 1899
Enregistré le: 20 Déc 2012, 14:14

par adrien69 » 03 Mai 2013, 20:04

Franchement, pas la moindre idée. Navré.

Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

par Dlzlogic » 03 Mai 2013, 20:26

C'est pas évident, mais je crois que j'approche.
D'abord, comme la forme de la courbe est fixe, il s'agit d'une rotation autour du point fixe.
La difficulté est que cette rotation est d'un angle connu, mais comme l'unité en X n'est pas la même qu'en Y, un angle ne veut pas dire grand-chose. Pour l'instant, j'essaye d'appliquer une affinité, mais c'est pas gagné.

Donc j'espère réussir à calculer un certain nombre de courbe, disons tous les 1° ou tous les 2°.
Le point définitif sera situé dans un quadrilatère dont les côtés opposés sont les 2 courbes immédiatement proches, ou tout simplement la courbe calculée avec l'angle voulu, et l'arc de cercle, éventuellement assimilé à un segment de droite.
Il est évident que je ne cherche pas une précision parfaite, puisque ça remplace un approximation graphique, par contre il est nécessaire que le résultat soit facile à calculer.
En tout cas, merci d'avoir regardé.

Ca marche pour la rotation. :we:

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 9 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite